Ejemplos de conjuntos abiertos con la topología de Scott

Sea (D,\sqsubseteq) un cpo (complete partial ordering). Entonces:

  1. \{z\,|\,z \not\sqsubseteq x\} es abierto con la topología de Scott
  2. \{z\,|\,z \sqsubseteq x\} no necesariamente es abierto

Demostración. Recordar que un conjunto O es abierto con la topología de Scott sii:

  • (\forall x, y \in D)\ x \in O \land x \sqsubseteq y \implies y \in O
  • \sqcup\,X \in O con X \subseteq D dirigido \implies X \cap O \neq \emptyset

Para el ítem 1.:

  • Sean z \not\sqsubseteq x y z \sqsubseteq y. Queremos ver que y \not\sqsubseteq x. Suponer lo contrario, es decir que y \sqsubseteq x. Entonces z \sqsubseteq y \sqsubseteq x, lo que es absurdo.
  • Sea \sqcup\,X \not\sqsubseteq x con X \subseteq D dirigido. Suponer que y \sqsubseteq x para todo y \in X. Entonces x es una cota superior de X y por lo tanto \sqcup\,X \sqsubseteq x, lo que es absurdo. De modo que existe algún y \in X tal que y \not\sqsubseteq x.

Para el ítem 2., considerar el conjunto A = \{a,b\} y el cpo (\mathcal{P}(A), \subseteq). Observar que el conjunto X := \{\emptyset,\{a\}\} es de la forma \{z\ |\ z \subseteq \{a\}\}. Pero X no es abierto pues \{a\} \subseteq \{a,b\} \not\in X.

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