Teorema de Sylow 3

Sea G un grupo de orden p^r\,m con p un primo que no divide a m. Sea n_p la cantidad de p-subgrupos de Sylow de G. Entonces n_p divide a m y n_p \equiv 1 \mod p.

Demostración.

Sea Syl_p(G) el conjunto de todos los p-subgrupos de Sylow de G. Por el primer teorema de Sylow se sabe que dicho conjunto es no vacío, de modo que G tiene al menos un p-subgrupo de Sylow S_0. Por el segundo teorema de Sylow se sabe que los demás p-subgrupos de Sylow de G son todos conjugados de S_0. Además, como conjugar es una biyección, todos los subgrupos conjugados de S_0 son de orden p^r y por lo tanto son p-subgrupos de Sylow de G. Resumiendo, se tiene que los p-subgrupos de Sylow de G son exactamente todos los subgrupos conjugados de S_0, es decir:

Syl_p(G) = \{ g\,S_0\,g^{-1}\ |\ g \in G\}

  • m divide a n_p

    Considerar a G actuando por conjugación sobre Syl_p(G). Por el comentario anterior, la acción es transitiva y hay una única órbita. Es decir, Syl_p(G) = \mathcal{O}_G(S_0) donde S_0 puede ser cualquier S_0 \in Syl_p(G). Por la relación entre órbitas y estabilizadores, se tiene entonces que:

    n_p = \#Syl_p(G) = \#\mathcal{O}_G(S_0) = |G:\varepsilon_G(S_0)|

    donde \varepsilon_G(S_0) es el estabilizador de S_0 por la acción de G. Usando el teorema de Lagrange:

    n_p = |G:\varepsilon_G(S_0)| = |G| / |\varepsilon_G(S_0)| = p^r\,m / |\varepsilon_G(S_0)|

    Notar que \varepsilon_G(S_0) es un subgrupo de G, y que además S_0 \subseteq \varepsilon_G(S_0), pues s\,S_0\,s^{-1} = S_0 para todo s \in S_0. Entonces |S_0| = p^r divide a \varepsilon_G(S_0), de modo que |\varepsilon_G(S_0)| = p^r\,\tilde{m}, donde \tilde{m} divide a m. Por lo tanto:

    n_p = p^r\,m / |\varepsilon_G(S_0)| = m / \tilde{m}

    Así se concluye que m = n_p\,\tilde{m}, con lo cual n_p divide a m.

  • n_p \equiv 1 \mod p

    Por otra parte, considerar a S_0 actuando por multiplicación a izquierda sobre X := Syl_p(G). Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

    \#X = \#( ^{S_0}{X}) + \sum_{i=0}^{N}{|S_0:H_i|}

    Afirmación: hay un único punto fijado por la acción de S_0, que es precisamente S_0. Por empezar, S_0 está fijado por la acción de S_0 pues g\,S_0 = S_0 para todo g \in S_0. Por otro lado, dado un S \in X fijado por la acción de S_0, se quiere ver que S = S_0. Por ser un punto fijo, se tiene que g\,S = S para todo g \in S_0. En particular, g\,S \subseteq S con lo cual g = g\,1 \in S. Entonces se tiene que g \in S para todo g \in S_0, es decir S \subseteq S_0. Como además tienen el mismo cardinal, |S| = p^r = |S_0|, se concluye que S = S_0.

    Por otra parte, los términos de la suma son de la forma |S_0:H_i| = |S_0| / |H_i| = p^r / |H_i|. El teorema de ecuación de clases asegura además que dichos términos no son 1, pues las órbitas puntuales quedan agrupadas en el conjunto de puntos fijos, de modo que cada uno de ellos es una potencia positiva de p. En particular, los términos de la suma son todos múltiplos de p, y por lo tanto la suma también lo es. Es decir: \sum_{i=0}^{N}{|S_0:H_i|} = p\,\alpha.

    Resumiendo, se tiene que n_p = \#Syl_p(G) = \#X = 1 + p\,\alpha con lo cual n_p \equiv 1 \mod p.

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