Teorema de Sylow 2

Sea G un grupo y p un primo.

Dado H \subseteq G un subgrupo, H se dice un p-subgrupo de Sylow de G sii es un p-subgrupo maximal, es decir, un p-subgrupo que no está incluido en ningún otro p-subgrupo (excepto trivialmente en sí mismo).

Entonces, todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados entre sí, es decir, dados S_1, S_2 \subseteq G dos p-subgrupos maximales, existe un g \in G tal que S_1 = g\,S_2\,g^{-1}.

Demostración.

Por el primer teorema de Sylow, G tiene un subgrupo S_0 de orden p^r. Considerar el conjunto X de todas las coclases a izquierda de S_0, es decir: X := (G/S_0)^{\texttt{izq}} = \{g\,S_0\ |\ g \in G\}.

Notar que se usa la notación (G/S_0)^{\texttt{izq}} para enfatizar que el conjunto de coclases no necesariamente es un cociente (i.e. puede no tener estructura de grupo) porque S_0 no necesariamente es normal en G.

El grupo G actúa por multiplicación a izquierda sobre X. Sea ahora S \subseteq G un p-subgrupo de Sylow. También S actúa por multiplicación a izquierda sobre X. Con esta acción, y usando el teorema de ecuación de clases, se tiene entonces que:

\#X = \#({ }^S X) + \sum_{i=1}^{N}{|S:H_i|}

donde los términos |S:H_i|>1 pues corresponden a órbitas no puntuales. Las órbitas puntuales quedan consideradas dentro del conjunto { }^S X de puntos de X fijados por la acción de S.

Por el comentario precedente, |S:H_i|>1. Pero además S es un p-grupo, de modo que |S:H_i| = |S| / |H_i| debe ser de la forma p^k para algún k>0. En particular, esto quiere decir que p divide a todos los términos |S:H_i|, para cada 1 \leq i \leq N, y entonces divide también a la suma.

Por otra parte, \#X es la cantidad de coclases a izquierda de G, es decir \#X = |G:S_0| = |G| / |S_0| = p^r\,m / p^r = m, que no es divisible por p. Resumiendo, se sabe que:

\underbrace{\#X}_{p\ \textrm{no\ lo\ divide}} = \#({ }^S X) + \underbrace{\sum_{i=1}^{N}{|S:H_i|}}_{p\ lo\ \textrm{divide}}

De este modo, no puede ocurrir que p divida a \#({ }^S X). En particular, \#({ }^S X)>0, es decir, hay al menos un punto de X fijado por la acción de S. Dicho de otro modo, hay al menos un subgrupo T = g\,S_0\,g^{-1} tal que para todo s \in S se tiene que s\,T = T, o sea, s \in T. Es decir, S \subseteq T = g\,S_0\,g^{-1}.

Finalmente, como S es un p-subgrupo maximal y está incluido en g\,S_0\,g^{-1}, que es un p-subgrupo, debe ser S = g\,S_0\,g^{-1}.

Corolario

Los p-subgrupos de Sylow de G son exactamente los subgrupos de G de orden p^r. Es decir: dado S \subseteq G, se tiene que S es un p-subgrupo maximal sii |S| = p^r.

Así, todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados de S_0. Como la relación de ser conjugado es de equivalencia, todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados entre sí.

Demostración.

(\Leftarrow) Los subgrupos de orden p^r son p-subgrupos de Sylow, pues G no puede tener subgrupos de orden p^k con k>r, por el teorema de Lagrange.

(\Rightarrow) Por otro lado, G tiene al menos un p-subgrupo de Sylow S_0, pues por el primer teorema de Sylow tiene al menos un subgrupo de orden p^r. Entonces, todo p-subgrupo de Sylow S \subseteq G es conjugado de S_0, con lo cual |S| = |S_0| = p^r.

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