Corolario del teorema de Sylow 1

Sea G un grupo de orden p^r\,m donde p es un primo que no divide a m. Entonces G tiene al menos un subgrupo de orden p^i para cada 0 \leq i \leq r.

Notar que este corolario generaliza el primer teorema de Sylow, que afirma que G tiene al menos un subgrupo de orden p^r, y el teorema de Cauchy, que afirma que G tiene al menos un subgrupo de orden p.

Demostración. Por el primer teorema de Sylow, todo grupo de orden p^r\,m tiene un subgrupo de orden p^r. Por lo tanto, el caso general se reduce al caso en que |G| = p^r, que se demuestra por inducción en r. Para r = 0, la afirmación es trivial. Para r>0, se separa en casos.

Si i = r, el mismo G es un subgrupo de orden p^i = p^r. Si i = 0, se tiene a \{1\} \subseteq G como subgrupo de orden p^i = 1.

Si 0<i<r y G es Abeliano, considerar, por el teorema de Cauchy, un subgrupo K \subseteq G de orden p. Por ser G Abeliano, K es normal y su índice es |G : K| = p^{r-1}. Por hipótesis inductiva, G / K tiene un subgrupo de orden p^{i-1}. Por ser un subgrupo de G / K, debe ser de la forma H / K con K \subseteq H \subseteq G. Pero p^{i-1} = |H:K| = |H| / |K| con lo cual |H| = p^{i-1}\,|K| = p^i, que es lo buscado.

Para el caso en que 0<i<r y G no es Abeliano, observar primero que, como G es un p-grupo, tiene centro no trivial. Sea entonces \mathcal{Z}(G) el centro de G. El centro es de orden mayor que 1 (pues \mathcal{Z}(G) es no trivial) y estrictamente menor que p^r (pues G no es Abeliano). Además, divide a p^r, de modo que |\mathcal{Z}(G)| = p^k con 0<k<r.

Si i \leq k, se tiene por hipótesis inductiva que el centro \mathcal{Z}(G) tiene un subgrupo de orden p^i. Dicho subgrupo es a su vez subgrupo de G, lo que completa la demostración.

Si i>k, usando que \mathcal{Z}(G) \trianglelefteq G, considerar el cociente G / \mathcal{Z}(G) de orden p^{r-k}. Por hipótesis inductiva sobre dicho cociente, se tiene que existe un subgrupo de orden p^{i-k}, que es de la forma H / \mathcal{Z}(G), donde \mathcal{Z}(G) \subseteq H \subseteq G. Por Lagrange, se sabe que p^{i-k} = |H : \mathcal{Z}(G)| = |H| / |\mathcal{Z}(G)|, con lo cual |H| = p^{i-k}\,|\mathcal{Z}(G)| = p^i, lo que completa la demostración.

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