Teorema de Sylow 1

Sea G un grupo de orden p^r m donde p es un primo que no divide a m. Entonces G tiene al menos un subgrupo de orden p^r.

Demostración.

Considerar el conjunto X de todos los subconjuntos de G que tienen cardinal p^r. Más precisamente:

X = \{ A\ |\ A \subseteq G,\ \#A = p^r \}

Notar que en este caso se escribe A \subseteq G para la inclusión como subconjunto (y no como subgrupo). Considerar ahora al grupo G actuando sobre X mediante la multiplicación a izquierda; es decir, la acción \varphi : G \to S(X) determinada por g \mapsto (A \mapsto gA). A cada g \in G se le asocia efectivamente una biyección, lo que se puede ver considerando la inversa A \mapsto g^{-1}A.

Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

\#X = \sum_{i=1}^{N}{|G:H_i|}

Donde |G:H_i| son los cardinales de las órbitas de X por la acción de G. Notar que las órbitas pueden ser puntuales (si para algún i se tiene H_i = G).

El número \#X es conocido, pues es la cantidad de subconjuntos de G que tienen cardinal p^r, es decir, la cantidad de maneras de elegir p^r elementos de un conjunto de p^r m elementos: \#X = {p^r m \choose p^r}. Desarrollando el combinatorio: \#X = \prod_{i = 0}^{p^r - 1}{\frac{p^r m - i}{p^r - i}}.

Notar que módulo p se tiene p^r m - i \equiv p^r - i \mod p, con lo cual \frac{p^r m - i}{p^r - i} \equiv 1 \mod p, y entonces \#X \equiv 1 \mod p. (Nota en estos dos últimos pasos se está cometiendo un abuso de la aritmética modular, pues al considerar la fracción módulo p podría pasar que el denominador se anule. De todas maneras la conclusión es válida y se puede justificar con mayor rigurosidad escribiendo cada factor de la forma p \cdot q + r).

Así, se tiene que p no divide a \#X = \sum_{i=1}^{N}{|G:H_i|}. No puede ocurrir que p divida a todos los sumandos, y por lo tanto existe algún i_0 tal que p no divide a |G:H_{i_0}|. Además, se sabe que |G:H_{i_0}| = |G| / |H_{i_0}| = p^r\,m / |H_{i_0}|. Por lo tanto p^r debe dividir a |H_{i_0}|. Como H_{i_0} es un subgrupo de G se tiene entonces que |H_{i_0}| = p^r\,n con n | m. Para finalizar, se verá que n = 1.

Por el teorema de ecuación de clases, se sabe que en la expresión |G:H_{i_0}| el subgrupo H_{i_0} es el estabilizador de un cierto A_0 \in X. Es decir, para todo h \in H_{i_0} se tiene que h\,A_0 = A_0.

Sea ahora un elemento a \in A_0 cualquiera. Se afirma que H_{i_0}\,a \subseteq A_0. Para ver esto, observar que dado cualquier h \in H_{i_0}, se tiene h\,a \in h\,A_0 = A_0, usando que h estabiliza a A_0. Por otro lado, como la multiplicación a derecha por a es una biyección (cuya inversa es la multiplicación a derecha por a^{-1}), se tiene que |H_{i_0}| = |H_{i_0}\,a| \leq \#A_0. Como |H_{i_0}| = p^r\,n y \#A_0 = p^r, se tiene entonces que p^r\,n = p^r, con lo cual n = 1, de donde se concluye que H_{i_0} \subseteq G es un subgrupo de orden p^r.

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