Teorema de Cauchy para grupos

Sean G un grupo finito y p \in \mathbb{N} un primo tal que p divide al orden de G. Entonces G tiene un subgrupo de orden p.

(O, equivalentemente, G tiene un elemento de orden p).

Demostración.

Considerar el conjunto de p-uplas de elementos de G cuyo producto es la identidad de G: X = \{ (g_1, \hdots, g_p) \ |\ g_1\cdot\hdots\cdot g_p = 1_G \}

Considerar la operación que “rota” una p-upla hacia la izquierda: \sigma : X \to X dada por (g_1, g_2, \hdots, g_p) \mapsto (g_2, \hdots, g_p, g_1). Está bien definida porque si g_1 \cdot g_2 \cdot \hdots \cdot g_p = 1 entonces g_1 es el inverso de g_2 \cdot \hdots \cdot g_p en G. Como el inverso es único a izquierda y a derecha, g_2 \hdots \cdot g_p \cdot g_1 = 1.

Notar que \sigma es una función biyectiva, porque la rotación en el sentido opuesto es su inversa. Por lo tanto \sigma \in S(X). Observar además que \sigma^p = id.

Se hace actuar al grupo \mathbb{Z}_p sobre X mediante la acción determinada por el morfismo \mathbb{Z}_p \to S(X) dado por \bar{1} \mapsto \sigma. Está bien definido por los comentarios precedentes.

Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

\# X = \#(^{\mathbb{Z}_p}X) + \sum_{i=1}^{N}{[\mathbb{Z}_p : H_i]}

donde ^{\mathbb{Z}_p}X son los puntos de X invariantes por la acción de \mathbb{Z}_p, N es algún número natural y los H_i son subgrupos de \mathbb{Z}_p tales que [\mathbb{Z}_p : H_i]>1.

Por el teorema de Lagrange, cada uno de los subgrupos H_i \subseteq \mathbb{Z}_p debe tener orden 1 o p. Pero no pueden tener orden p, pues si no [\mathbb{Z}_p : H_i] = 1. Entonces [\mathbb{Z}_p : H_i] = p para todo i, con lo cual la suma de dichos términos es un múltiplo de p.

Por otro lado, \# X también es múltiplo de p, de modo que la cantidad de puntos de X invariantes por la acción de \mathbb{Z}_p, que según la notación del teorema de ecuación de clases se escribe \#(^{\mathbb{Z}_p}X), debe ser también un múltiplo de p:

\underbrace{\# X}_{\textrm{m\'ultiplo\ de\ }p} = \underbrace{\#(^{\mathbb{Z}_p}X)}_{\textrm{debe\ ser\ m\'ultiplo\ de\ }p} + \underbrace{\sum_{i=1}^{N}{[\mathbb{Z}_p : H_i]}}_{\textrm{m\'ultiplo\ de\ }p}

Además, hay al menos un punto de X invariante por \sigma, que es el (1, 1, \hdots, 1) \in X. Como la cantidad de puntos invariantes es un múltiplo de p, debe haber por lo menos otro elemento x \in X, distinto de (1, 1, \hdots, 1), tal que \sigma^n(x) = x para todo n \in \mathbb{Z}.

Dicho elemento x debe ser igual a todas sus posibles rotaciones, de modo que debe ser de la forma (g, g, \hdots, g) para algún g \in G. Además g \neq 1. Como x \in X, se concluye que g \cdot g \cdot \hdots \cdot g = 1, de modo que g^p = 1.

Nuevamente por el teorema de Lagrange, el orden de g sólo puede ser 1 o p. No es de orden 1 porque g \neq 1. Así, g \in G es un elemento de orden p, y \langle g \rangle es un subgrupo de G de orden p.

Demostración (alternativa).

Por inducción en el orden de G, separando en casos.

  • Si G es cíclico, existe un elemento x \in G de orden |G|. Como p divide a |G|, considerar el elemento y = x^{|G| / p}. Se tiene que y^p = 1. El orden de y divide a p y no es 1 (pues y \neq 1_G), de modo que y es un elemento de orden p.
  • Si G es Abeliano, considerar un elemento x \in G tal que 1<|\langle x \rangle|<|G|. Se puede elegir un elemento así porque se puede suponer que G no es cíclico (y por lo tanto tampoco es G = \{1\}).

    Se sabe además que |G| = |G:\langle x \rangle| \cdot |\langle x \rangle|.

    • Si p divide a |\langle x \rangle|, se tiene por hipótesis inductiva que existe un elemento y \in \langle x \rangle \subseteq G de orden p.
    • Si p no divide a |\langle x \rangle|, entonces p divide al orden del cociente G / \langle x \rangle, que está bien definido porque G es Abeliano y \langle x \rangle \trianglelefteq G. Por hipótesis inductiva, existe un elemento \bar{y} \in G / \langle x \rangle de orden p. Es decir que \bar{y}^p = \bar{1} pero \bar{y} \neq \bar{1}. Expresado en términos de los elementos de G, se tiene que y^p \in \langle x \rangle pero y \not\in \langle x \rangle.

      Sea m = |\langle x \rangle| el orden de x. Como p no divide a m, se tiene en particular que p y m son coprimos, con lo cual \langle x^p \rangle = \langle x \rangle. La inclusión \subseteq es clara; la inclusión \supseteq se desprende del hecho de que 1 = \alpha\,p + \beta\,m, de modo que x = (x^p)^\alpha. Entonces todo elemento de \langle x \rangle = \langle x^p \rangle se escribe como (x^p)^{\gamma} = (x^{\gamma})^p para algún \gamma \in \mathbb{Z}.

      En este caso, y^p \in \langle x \rangle, de modo que y^p = x^k para algún k \in \mathbb{Z} y, despejando, se tiene y^p\,x^{-k} = 1. Como x^{-k} es un elemento de \langle x \rangle, se escribe x^{-k} = z^p para cierto z \in \langle x \rangle.

      Así, dado el elemento y\,z \in G, y usando que G es Abeliano, se tiene que (y\,z)^p = y^p\,z^p = y^p\,x^{-k} = 1. Además, y\,z \neq 1, porque si y = z^{-1} se concluiría que y \in \langle x \rangle, lo que no puede ocurrir.

      Se tiene entonces que y\,z es un elemento de orden p en G.

  • Si G no es Abeliano, considerar \mathcal{Z}(G) el centro de G.
    • Si p divide a \mathcal{Z}(G), . se tiene que \mathcal{Z}(G) \neq G, porque G no es Abeliano. Se concluye por hipótesis inductiva que hay un elemento de orden p en \mathcal{Z}(G) \subseteq G.
    • Si p no divide a \mathbb{Z}(G), considerar a G actuando sobre sí mismo por conjugación, es decir, mediante la acción determinada por el morfismo \varphi : G \to S(G) dado por g \mapsto (h \mapsto g\,h\,g^{-1}). Los puntos invariantes de G por dicha acción son ^GG = \{x \in G\ |\ g\,x\,g^{-1} = x\ \forall g \in G\} = \{x \in G\ |\ g\,x = x\,g\ \forall g \in G\} = \mathcal{Z}(G), es decir, el centro de G.

      Por el teorema de ecuación de clases se tiene que:

      |G| = |\mathcal{Z}(G)| + \sum_{i=1}^{N}{[G:H_i]}

      para ciertos N \in \mathbb{N}, y subgrupos H_i \subseteq G. Como p divide a |G| pero no divide a |\mathcal{Z}(G)|, no puede ser que p divida a [G:H_i] para todo i. De modo que debe existir algún i para el cual p no divide a [G:H_i].

      Entonces, como |G| = [G:H_i] \cdot |H_i|, se tiene que p divide al orden de H_i \subseteq G. Además, H_i es un subgrupo propio de G, porque el teorema de ecuación de clases asegura que [G:H_i]>1.

      Por lo tanto, por hipótesis inductiva, existe un elemento de orden p en H_i \subseteq G.

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