Teoremas de isomorfismo de grupos

Primer teorema de isomorfismo

Sean G, G' grupos arbitrarios y \varphi : G \to G' un morfismo de grupos. Entonces G / \ker(\varphi) \simeq {\mathop{\rm{im}}}(\varphi).

Demostración.

Usando la factorización de morfismos de grupos sobre el núcleo \ker(\varphi), se tiene que existe un único morfismo \bar{\varphi} : G / \ker(\varphi) \to G' tal que \varphi = \bar{\varphi} \cdot \pi.

Considerar dicho morfismo \bar{\varphi} restringiendo su codominio a {\mathop{\rm{im}}}(\varphi). Es un epimorfismo, porque por definición de la imagen, para todo y \in {\mathop{\rm{im}}}(\varphi) existe un x \in G tal que \varphi(x) = y, y por lo tanto \bar{\varphi}(\bar{x}) = y.

Además, es un monomorfismo, porque \bar{\varphi}(\bar{x}) = \varphi(x). Entonces si \bar{\varphi}(\bar{x}) = 0 se tiene que x \in \ker(\varphi), con lo cual \bar{x} = 0.

Así, \bar{\varphi} : G / \ker(\varphi) \to {\mathop{\rm{im}}}(\varphi) resulta un isomorfismo.

Segundo teorema de isomorfismo

Sean G, H, K grupos tales que K \leq H \leq G con K \trianglelefteq G y H \trianglelefteq G. Entonces se tiene que (G/K) / (H/K) \simeq G/H.

Informalmente, esto afirma que se pueden “cancelar” las ocurrencias de K. Desde otro punto de vista, esto afirma que tomar el cociente de un cociente ((G/K) / (H/K)) no aporta mayor información que tomar un cociente del grupo original (G/H).

Demostración.

Por empezar, se debe verificar que las expresiones del enunciado están bien definidas. Es decir, que todos los grupos por los que se cocienta son normales. Por un lado, K \trianglelefteq H, pues H es un subconjunto de G, con lo que g\,K\,g^{-1} = K para todo g \in H. Además, H/K \trianglelefteq G/K, ya que dados g\,K \in G/K y h\,K \in H/K se tiene que g\,h\,g^{-1} \in H y por lo tanto g\,h\,g^{-1}\,K \in H/K.

Para el isomorfismo, considerar primero la proyección al cociente: \pi_H : G \to G/H. Su núcleo es H, y K \subseteq H. Por lo tanto, se puede aplicar la factorización de morfismos de grupos para concluir que existe un único morfismo \psi : G/K \to G/H que cumple \pi_H = \psi \cdot \pi_K, donde \pi_K : G \to G/K es la proyección al cociente sobre K.

El morfismo \psi es un epimorfismo, porque \pi_H = \psi \cdot \pi_K lo es. Además, \ker(\psi) = \{x\,K \in G/K\ |\ \psi(x\,K) = 0\}, es decir, \ker(\psi) = \{x\,K \in G/K\ |\ \pi_H(x) = 0\}. Esto a su vez equivale a afirmar que \ker(\psi) = \{x\,K \in G/K\ | x \in H\} = H/K.

Resumiendo, \psi : G/K \to G/H es un epimorfismo tal que \ker(\psi) = H/K, con lo cual, por el primer teorema de isomorfismo, se concluye (G/K) / (H/K) \simeq G/H.

Tercer teorema de isomorfismo

Sean G un grupo y S, T subgrupos de G. Sea S \trianglelefteq G. Entonces se tiene que ST / S = T / (S \cap T).

Si el grupo es Abeliano, usando notación aditiva: \frac{S + T}{S} = \frac{T}{S \cap T}.

Demostración.

Por empezar se debe verificar que las expresiones que intervienen en el enunciado están bien definidas. Por un lado, ST es un subgrupo de G porque S es normal en G. Teniendo esto en cuenta, se cumple también que S \trianglelefteq ST, porque dado cualquier x \in ST, en particular x \in G, y por lo tanto x\,S\,x^{-1} = S. Por último, S \cap T \trianglelefteq T. Para ello, dados t \in T y s \in S \cap T, se debe ver que t\,s\,t^{-1} \in S \cap T. En efecto, t\,s\,t^{-1} está en t\,S\,t^{-1} = S porque S es normal, y está en T porque todos sus factores lo están.

Para el isomorfismo, considerar primero la aplicación: \varphi : T \to ST / S definida por t \mapsto \bar{t} = 1\,t\,S. Se tiene que \varphi es un morfismo de grupos porque \varphi(t\,t') = \bar{t}\bar{t'} = \varphi(t)\,\varphi(t').

Por un lado, \varphi es un epimorfismo. Para ver esto, considerar un elemento s\,t\,S \in ST/S arbitrario. Por ser S normal, se sabe que s\,t se escribe como t\,\tilde{s} para algún \tilde{s} \in S. Se tiene entonces que s\,t\,S = t\,\tilde{s}\,S = t\,S = \varphi(t).

Por otro lado, el núcleo \ker(\varphi) es el conjunto \{t \in T\ |\ t\,S = S\}, es decir, T \cap S.

Resumiendo, \varphi : T \to ST / S es un epimorfismo cuyo núcleo es T \cap S. Por el primer teorema de isomorfismo se concluye entonces que T / (T \cap S) \simeq ST / S.

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