Factorización de morfismos de grupos

Sean G, G' grupos arbitrarios y \varphi : G \to G' un morfismo de grupos. Sea H \leq \ker(\varphi). (Observar que H \trianglelefteq G porque el núcleo es normal). Sea entonces \pi : G \to G/H la proyección al cociente. Entonces existe un único morfismo de grupos \bar{\varphi} : G/H \to G' que hace conmutar el siguiente diagrama:

factorizacion-de-morfismos-de-grupos_01.png?w=355

Es decir, para todo x \in G dicho morfismo cumple que \varphi(x) = \bar{\varphi}(\pi(x)).

Demostración.

Existencia. Sea \bar{\varphi} : G/H \to G' la aplicación dada por \bar{x} \to \varphi(x). Está bien definida porque si \bar{x} = \bar{y}, entonces 1 = \bar{x}\bar{y}^{-1}, con lo cual x\,y^{-1} \in H \subseteq \ker(\varphi). Por lo tanto \varphi(x\,y^{-1}) = 1, y entonces \varphi(x) = \varphi(y).

Además, define un morfismo porque \bar{\varphi}(\bar{x}\,\bar{y}) = \varphi(x\,y) = \varphi(x)\,\varphi(y) = \bar{\varphi}(\bar{x})\,\bar{\varphi}(\bar{y}).

Para ver que hace conmutar el diagrama, notar que para todo x \in G se cumple \varphi(x) = \bar{\varphi}(\bar{x}) = \bar{\varphi}(\pi(x)).

Unicidad. Para la unicidad, basta observar que la manera en que fue definido el morfismo \bar{\varphi} es la única manera de definirlo de tal manera que conmute con el diagrama. Es decir, si se tiene un morfismo \psi que conmuta con el diagrama, \psi(\bar{x}) = \varphi(x) para todo x \in G, y entonces \psi = \bar{\varphi}.

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