Funtor Hom contravariante de módulos es exacto a izquierda

Sea A un anillo. Entonces, si la sucesión de A-módulos:

M_1 \overset{f}{\longrightarrow} M_2 \overset{g}{\longrightarrow} M_3 \longrightarrow 0

es exacta, entonces la sucesión de \mathbb{Z}-módulos inducida:

0 \longrightarrow {\mathop{\rm Hom}}_A(M_3, J) \overset{g^*}{\longrightarrow} {\mathop{\rm Hom}}_A(M_2, J) \overset{f^*}{\longrightarrow} {\mathop{\rm Hom}}_A(M_1, J)

es exacta.

Recordar que todo morfismo f \in \mathop{\rm{Hom}}_A(M, N) induce un morfismo f^* : \mathop{\rm{Hom}}_A(N, J) \to \mathop{\rm{Hom}}_A(M, J) que se define por f^*(\psi) = \psi \cdot f. La situación es la siguiente:

funtor-hom-contravariante-exacto-a-izquierda_01.png?w=365

Demostración.

  • Por un lado, se afirma que cada vez que g es un epimorfismo, se tiene que g^* es un monomorfismo.

    Sea g^*(\psi) \equiv 0 para \psi \in {\mathop{\rm Hom}}(M_3, J). Entonces \psi \, g(x) = 0 para todo x \in M_2. Como g es un epimorfismo, \psi(y) = 0 para todo y \in M_3. Entonces \psi \equiv 0.

  • Por otro lado, cada vez que {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g) se tiene que {\mathop{\rm{im}}}(g^*) = \ker(f^*).

    (\subseteq) Sea \psi \in {\mathop{\rm{im}}}(g^*). Entonces \psi = g^*(\varphi) para algún \varphi \in {\mathop{\rm Hom}}(M_3, J), y por lo tanto f^*(\psi) = f^*(g^*(\varphi)) = \varphi \cdot g \cdot f. Este término es igual a 0 pues se sabe {\mathop{\rm{im}}}(f) \subseteq \ker(g). Por lo tanto se tiene f^*(g^*(\varphi)) \equiv 0, y entonces g^*(\varphi) \in \ker(f^*).

    (\supseteq) Sea \psi \in \ker(f^*). Entonces f^*(\psi) \equiv 0, es decir \psi \, f (x) = 0 para todo x \in M_1. Como {\mathop{\rm{im}}}(f) \supseteq \ker(g), esto implica que \psi(y) = 0 para todo y \in \ker(g). Por lo tanto \ker(g) \subseteq \ker(\psi). Por un resultado básico de morfismos (en este caso, morfismos de A-módulos), esto permite factorizar a \psi como \varphi \cdot g. Por lo tanto \psi = g^*(\varphi) \in {\mathop{\rm{im}}}(g^*).

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