Anillo semisimple sii todo módulo cíclico proyectivo

Sea A un anillo. Entonces A es semisimple si y sólo si todo A-módulo cíclico es proyectivo.

Demostración.

(\Rightarrow)

Suponer que A es semisimple. Se quiere ver que todo A-módulo cíclico es proyectivo. Por empezar, como A es semisimple, se sabe que A = \bigoplus_{i = 1}^{n}{\langle s_i \rangle} donde cada ideal \langle s_i \rangle es simple y además:

  • 1 = s_1 + \hdots + s_n
  • s_i^2 = s_i
  • s_i\,s_j = 0 si i \neq j

Sea P = \langle x_0 \rangle un A-módulo cíclico. Considerar los submódulos \langle s_i \, x_0 \rangle \subseteq P. Observar que cada uno de ellos está contenido en P y por lo tanto la suma también, i.e. \sum_{i = 1}^n{\langle s_i \rangle} \subseteq P. Recíprocamente, observar que x_0 = s_1\,x_0 + \hdots + s_n\,x_0, por lo cual P está contenido en la suma.

Además, cada submódulo S_i := \langle s_i \, x_0 \rangle es simple. Para ello basta ver que todo elemento no nulo de S_i genera a S_i. Sea entonces un elemento no nulo de S_i. Es un múltiplo de s_i\,x_0 y por lo tanto de la forma \alpha \, s_i \, x_0, donde \alpha\,s_i \neq 0. Como el ideal \langle s_i \rangle es simple, y \alpha \, s_i es un elemento no nulo de dicho ideal, se tiene que \langle s_i \rangle = \langle \alpha\,s_i \rangle. En particular, s_i = \beta\,\alpha\,s_i para cierto elemento \beta \in A. Por lo tanto \langle s_i\,x_0 \rangle = \langle \alpha\,s_i\,x_0 \rangle, de modo que S_i es simple.

Resumiendo, se tiene que P = \sum_{i=1}^{n}{S_i}, es decir, es suma de módulos simples. Por caracterización de módulos semisimples, esto implica que P es la suma directa de los S_i, es decir, P = \bigoplus_{i=1}^{n}{S_i}.

Se quiere ver que P es proyectivo. Basta ver que cada uno de los S_i es proyectivo.

Para finalizar la demostración de la implicación en este sentido, basta ver que si S_i es simple, entonces es proyectivo. Para ello se usa fuertemente el hecho de que el anillo A es semisimple. Observar que en general, un módulo simple no tiene por qué ser proyectivo.

Sea entonces S_i = \langle s_i\,x_0 \rangle no nulo (los S_i nulos son obviamente proyectivos). Primero, observar que S_i es sin torsión, pues como S_i es simple, dado cualquier elemento \alpha \in A no nulo, el elemento \alpha\,s_i\,x_0 genera todo S_i (y por lo tanto \alpha\,s_i\,x_0 \neq 0).

Para ver que S_i es proyectivo, se construirá una base proyectiva. La base proyectiva estará conformada por el único elemento s_i\,x_0. Lo que se quiere entonces es un morfismo c : S_i \to A tal que x = c(x)\,s_i\,x_0 para todo elemento x \in S_i.

Para ello basta observar que todo x \in S_i se escribe de manera única como \alpha\,s_i\,x_0 para cierto elemento \alpha \in A. Si hubiera dos escrituras, \alpha\,s_i\,x_0 = \beta\,s_i\,x0, restando se tiene que (\alpha - \beta)\,s_i\,x_0 = 0 y como S_i es sin torsión se concluye \alpha = \beta.

Definiendo la aplicación c : S_i \to A que dado un elemento \alpha\,s_i\,x_0 devuelve \alpha, por ser \alpha único resulta que c es un morfismo y define una base proyectiva.

(\Leftarrow) Suponer que todo A-módulo cíclico es proyectivo.

Por caracterización de módulos semisimples, para ver que A es semisimple basta ver que todo submódulo es un sumando directo del anillo, i.e. para todo ideal a izquierda I \subseteq A existe otro ideal J \subseteq A tal que A = I \oplus J.

Considerar el cociente A / I. Es un A-módulo cíclico, pues A / I = \langle \bar{1} \rangle. Por lo tanto es proyectivo. Considerar la sucesión exacta corta:

0 \longrightarrow I \longrightarrow A \longrightarrow A / I \longrightarrow 0

Como A / I es proyectivo, es escindida y entonces A \simeq I \oplus A / I. Como I es el núcleo de la proyección A \to A / I, se tiene en realidad que A = I \oplus J (para algún J \simeq A / I). En particular, I es un sumando directo de A, lo que completa la prueba.

Nota: la demostración de (\Rightarrow) quedó compleja. Se puede simplificar usando por un lado que A es semisimple si y sólo si todo A-módulo es inyectivo, y por otro las relaciones entre módulos proyectivos, inyectivos y sucesiones exactas cortas que se parten.

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