Módulo proyectivo sii sumandos directos proyectivos

Sea P = \bigoplus_{i \in I}{P_i} un A-módulo. Entonces P es proyectivo si y sólo si todo P_i es proyectivo.

Demostración.

En ambos casos la demostración se basa en el hecho de que para cada i se dispone de un morfismo proyección \pi_i : P \to P_i y de un morfismo inclusión \iota_i : P_i \to P, usando que:

  • \pi_i \cdot \iota_i = id_{P_i}
  • \sum_{i \in I}{\iota_i \cdot \pi_i} = id_{P}

(\Rightarrow) Considerar el siguiente diagrama:

modulo-proyectivo-sii-sumandos-directos-proyectivos_01.png?w=450

Lo que se quiere ver es que dados A-módulos M y N, un epimorfismo f : M \to N y un morfismo \varphi : P_i \to N, todos arbitrarios, existe un morfismo \psi : P_i \to M que hace conmutar el diagrama.

Como P es proyectivo, existe un morfismo \alpha : P \to M tal que f \cdot \alpha = \varphi \cdot \pi_i. Se puede ver que tomando \psi := \alpha \cdot \iota_i se cumple lo requerido:

f \cdot \psi = f \cdot \alpha \cdot \iota_i = \varphi \cdot \pi_i \cdot \iota_i = \varphi

(\Leftarrow) Considerar el siguiente diagrama:

modulo-proyectivo-sii-sumandos-directos-proyectivos_02.png?w=454

En este caso, lo que se quiere ver es que dados A-módulos M y N, un epimorfismo f : M \to N y un morfismo \varphi : P \to N, todos arbitrarios, existe un morfismo \psi : P \to M que hace conmutar el diagrama.

Como cada P_i es proyectivo, para cada i \in I existe un morfismo \alpha_i : P_i \to M tal que f \cdot \alpha_i = \varphi \cdot \iota_i. Se puede ver que tomando \psi := \sum_{i \in I} \alpha_i \cdot \pi_i se cumple lo requerido:

f \cdot \psi = f \cdot (\sum_{i \in I}{\alpha_i \cdot \pi_i}) = \sum_{i \in I}{f \cdot \alpha_i \cdot \pi_i} = \sum_{i \in I}{\varphi \cdot \iota_i \cdot \pi_i} = \varphi \cdot (\sum_{i \in I}{\iota_i \cdot \pi_i}) = \varphi

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