Módulo proyectivo sii base proyectiva

Sea P un A-módulo. Entonces P es proyectivo si y sólo si admite una base proyectiva (o “base dual”). Una base proyectiva consta de:

  • un conjunto de elementos \{x_i \in P\ |\ i \in I\}
  • un conjunto de morfismos \{\varphi_i \in P^*\ |\ i \in I\}, donde P^* = \mathop{\rm{Hom}}(P, A)

tales que para todo x \in P:

  • \varphi_i(x) es 0 salvo para finitos valores de i \in I
  • x = \sum_{i \in I}{\varphi_i(x)\,x_i}

Demostración.

(\Rightarrow) Sea P proyectivo. Considerar el módulo libre A^{(I)}, su base canónica \{e_i\ |\ i \in I\}, y un epimorfismo f : A^{(I)} \to P. Por ser P proyectivo se tiene que f es una retracción. Sea entonces s : P \to A^{(I)} tal que f \cdot s = id_P.

Entonces, cada elemento x \in P se escribe como x = f(s(x)). Además, s(x) \in A^{(I)} se escribe de manera única como \sum_{i \in I}{\alpha_i\,e_i} para ciertos \alpha_i \in A. Por lo tanto x = f(s(x)) = \sum_{i \in I}{\alpha_i\,f(e_i)}.

Tomando como elementos de la base proyectiva x_i := f(e_i) y como morfismo \varphi_i : P \to A el que asocia cada x \in P a su correspondiente \alpha_i, se verifica que es una base proyectiva.

Para ello, observar que en la escritura de s(x) = \sum_{i \in I}{\alpha_i\,e_i} hay sólo finitos valores de i \in I para los que \alpha_i \neq 0, ya que s(x) es un elemento de A^{(I)}.

Por otro lado, como la escritura de s(x) como combinación lineal de los e_i es única, se tiene que para cada i \in I la aplicación \varphi_i es un morfismo. Más precisamente, si x = \sum_{\alpha_i \, x_i} y y = \sum_{\beta_i \, y_i}, entonces x + y = \sum_{(\alpha_i + \beta_i) \, x_i}, con lo cual \varphi_i(x) + \varphi_i(y) = \varphi_i(x + y). Análogamente, \varphi_i(\lambda\,x) = \lambda\,\varphi_i(x).

(\Leftarrow) Sea P un A-módulo que admite una base proyectiva. Para ver que P es proyectivo se verá que en una situación como la siguiente:

modulo-proyectivo-sii-base-proyectiva_01.png?w=433

donde f : M \to N es un epimorfismo y \alpha : P \to N un morfismo arbitrario, existe siempre un morfismo \psi : P \to M que hace conmutar el diagrama.

Las imágenes de los elementos de la base proyectiva son de la forma \alpha(x_i) \in N y, como f es un epimorfismo, se tiene que \alpha(x_i) = f(y_i) para ciertos y_i \in M. Si se considera entonces una aplicación \psi : P \to M tal que \psi(x_i) = y_i, esto determina un único morfismo: \psi(x) = \psi(\sum_{i \in I}{\varphi_i(x)\,x_i}) = \sum_{i \in I}{\varphi_i(x)\,\psi(x_i)} = \sum_{i \in I}{\varphi_i(x)\,y_i}. Además, f \cdot \psi = \alpha, pues f(\psi(x_i)) = f(y_i) = \alpha(x_i), y por lo tanto, con \psi así definido, el diagrama conmuta.

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