Módulo proyectivo sii sucesiones exactas cortas escindidas

Sea P un A-módulo. Entonces P es proyectivo si y sólo si toda sucesión exacta corta de la forma:

0 \longrightarrow M \overset{f}{\longrightarrow} N \overset{g}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

“se parte” (es escindida).

Demostración.

(\Rightarrow) Se tiene la siguiente situación:

proyectivo-sii-sucesion-exacta-corta-escindida_01.png?w=423

como P es proyectivo, existe un morfismo s que hace conmutar el diagrama, i.e. g \cdot s = id_P. Por lo tanto g es una retracción, con lo cual la sucesión exacta corta es escindida.

(\Leftarrow) Para ver que P es proyectivo, se verá que es isomorfo a un sumando directo de un módulo libre. Para ello, considerar un epimorfismo g : A^{(I)} \to P y la siguiente sucesión exacta corta:

0 \longrightarrow \ker(g) \overset{\iota}{\longrightarrow} A^{(I)} \overset{g}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

donde \iota : \ker(g) \to A^{(I)} es la inclusión. Como la sucesión exacta corta es escindida, es equivalente a esta otra:

0 \longrightarrow \ker(g) \overset{\iota}{\longrightarrow} \ker(g) \oplus P \overset{\pi}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

con lo cual P es sumando directo de \ker(g) \oplus P \simeq A^{(I)}, que es libre.

Corolario. Si P es proyectivo y f : M \to P un epimorfismo, entonces f es una retracción. Para ver esto considerar la sucesión exacta corta:

0 \longrightarrow \ker(f) \overset{\iota}{\longrightarrow} M \overset{f}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

y observar que es escindida.

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