Módulo proyectivo sii sumando directo de un libre

Sea P un A-módulo. Entonces P es proyectivo si y sólo es isomorfo a un sumando directo de un módulo libre. Es decir, es proyectivo si y sólo si existe un A-módulo L libre de la forma L = \tilde{P} \oplus \tilde{Q} con P \simeq \tilde{P}.

Demostración.

(\Leftarrow) Para simplificar la notación, considerar primero el caso L = P \oplus Q; i.e., P es un sumando directo de un libre, sin isomorfismos de por medio. Se cuenta con un epimorfismo proyección (\pi : P \oplus Q \to P) y con un monomorfismo inclusión (\iota : P \to P \oplus Q).

Se quiere ver que P es proyectivo. Para ello, lo que se debe ver es que cada vez que se tiene una situación como la siguiente, para A-módulos M, N cualesquiera, un epimorfismo f : M \to N cualquiera, y un morfismo \varphi : P \to N cualquiera, existe un morfismo \psi : P \to M que hace conmutar el diagrama:

modulo-proyectivo-sii-sumando-directo-de-un-libre_01.png?w=406

Agregando el módulo L = P \oplus Q al diagrama, se tiene:

modulo-proyectivo-sii-sumando-directo-de-un-libre_02.png?w=466

Mirando sólo la situación relativa a P \oplus Q:

modulo-proyectivo-sii-sumando-directo-de-un-libre_03.png?w=466

Como todo módulo libre es proyectivo y P \oplus Q es libre, existe entonces un morfismo \alpha : P \oplus Q \to M que hace conmutar el diagrama. Resumiendo, se tiene entonces:

modulo-proyectivo-sii-sumando-directo-de-un-libre_04.png?w=466

Finalmente, el morfismo \psi : P \to M requerido se construye tomando \psi := \alpha \cdot \iota:

modulo-proyectivo-sii-sumando-directo-de-un-libre_05.png?w=406

En efecto, así definido, \psi hace conmutar el diagrama pues f(\alpha(\iota(x))) = f(\alpha(x \oplus 0)) = \varphi(\pi(x \oplus 0)) = \varphi(x).

Por último, notar que si P es isomorfo a un sumando directo \tilde{P} de un A-módulo libre L = \tilde{P} \oplus \tilde{Q}, por el argumento de arriba se tiene que \tilde{P} es proyectivo, y por lo tanto P también lo es (pues la propiedad de ser proyectivo se preserva vía isomorfismos).

(\Rightarrow) Sea P un módulo proyectivo. Se quiere ver que P es isomorfo a un sumando directo de un módulo libre. Considerar algún conjunto de índices I tal que existe un epimorfismo f : A^{(I)} \twoheadrightarrow P que va desde algún módulo libre A^{(I)} al módulo proyectivo P. (Observar que siempre es posible construir un epimorfismo de esta forma; tomar por ejemplo el morfismo A^{(P)} \to P determinado por e_p \mapsto p).

Se tiene entonces la siguiente situación:

modulo-proyectivo-sii-sumando-directo-de-un-libre_06.png?w=455

Como P es proyectivo, existe un morfismo \psi : P \to A^{(I)} que hace conmutar el diagrama, i.e. f \cdot \psi = id_P.

Afirmación. A^{(I)} = {\mathop{\rm{im}}}(\psi) \oplus \ker(f).

  • La suma es directa porque si x \in {\mathop{\rm{im}}}(\psi) \cap \ker(f), por estar en la imagen de \psi se tiene que x = \psi(y) para algún y \in P. Como además f es un epimorfismo y el diagrama conmuta, x = \psi(f(x)). Pero x \in \ker(f), por lo que x = \psi(0) = 0.
  • Por otro lado, dado un elemento x \in A^{(I)}, considerar x - \psi(f(x)). Aplicando f, se tiene que f(x - \psi(f(x))) = f(x) - f(\psi(f(x))) = f(x) - f(x) = 0, ya que f \cdot \psi = id_P. Por lo tanto x - \psi(f(x)) \in \ker(f). Así, todo elemento x \in A^{(I)} se escribe de la forma x = \underbrace{x - \psi(f(x))}_{\in \ker(f)} + \underbrace{\psi(f(x))}_{\in {\mathop{\rm{im}}}(\psi)}. De este modo, A^{(I)} = {\mathop{\rm{im}}}(\psi) + \ker(f).

Entonces se tiene efectivamente que A^{(I)} = {\mathop{\rm{im}}}(\psi) \oplus \ker(f). Para terminar, se verá que P \simeq {\mathop{\rm{im}}}(\psi), concluyendo así que P es isomorfo a un sumando directo de un libre. Notar para ello que \psi : P \to {\mathop{\rm{im}}}(\psi) es un epimorfismo, y además es un monomorfismo, pues si \psi(x) = 0 entonces f(\psi(x)) = x = 0.

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