Módulo proyectivo sii funtor Hom covariante exacto

Sea P un A-módulo. Entonces P es proyectivo si y sólo si para toda sucesión exacta corta de A-módulos:

0 \longrightarrow M_1 \overset{f}{\longrightarrow} M_2 \overset{g}{\longrightarrow} M_3 \longrightarrow 0

la sucesión de \mathbb{Z}-módulos inducida:

0 \longrightarrow \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_1) \overset{f_*}{\longrightarrow} \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_2) \overset{g_*}{\longrightarrow} \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_3) \longrightarrow 0

es exacta.

Demostración.

(\Rightarrow) Ya se sabe que el funtor {\mathop{\rm Hom}}(P, -) es exacto a izquierda. Es decir, siempre se cumple que:

  • Si f es un monomorfismo, entonces f_* también lo es.
  • Si {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g), entonces {\mathop{\rm{im}}}(f_*) = \ker(g_*).

En este caso, además g es un epimorfismo. Para ver que g_* es un epimorfismo, sea \psi : P \to M_3. Se quiere ver que existe \varphi : P \to M_2 tal que g_*(\varphi) = \psi, es decir, tal que \psi = g \cdot \varphi. Se tiene la siguiente situación:

modulo-proyectivo-sii-funtor-hom-covariante-exacto_01.png?w=300

Tal \varphi existe precisamente porque P es proyectivo.

(\Leftarrow) Recíprocamente, dado un epimorfismo g : M_2 \to M_3, se puede completar a una sucesión exacta corta de la siguiente manera:

0 \longrightarrow \ker(g) \overset{\iota}{\longrightarrow} M_2 \overset{g}{\longrightarrow} M_3 \longrightarrow 0

donde \iota es la inclusión. En una situación como esta, por hipótesis, la sucesión inducida es exacta, y en particular g_* : {\mathop{\rm Hom}}(P, M_2) \to {\mathop{\rm Hom}}(P, M_3) es un epimorfismo, con lo cual P es proyectivo.

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s