Todo módulo libre es proyectivo

Sea P un A-módulo libre. Entonces P es proyectivo.

Demostración. Considerar la siguiente situación, para A-módulos arbitrarios M, N, un epimorfismo f : M \to N y un morfismo \varphi : P \to N también arbitrarios:

modulo-libre-es-proyectivo_01.png?w=433

Lo que se quiere ver es que existe un morfismo \psi : P \to M que completa el diagrama. Como P es libre, considerar una base \{x_i\}_{i \in I}.

Para cada i \in I, como f es un epimorfismo, se tiene que \varphi(x_i) \in {\mathop{\rm{im}}}(f), y por lo tanto \varphi(x_i) = f(y_i) para ciertos y_i \in M. Como los x_i forman una base de P, la aplicación \psi(x_i) := y_i determina un morfismo.

Además, \psi así definido hace conmutar el diagrama, ya que f(\psi(x_i)) = f(y_i) = \varphi(x_i).

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