Funtor Hom covariante de módulos es exacto a izquierda

La siguiente sucesión de A-módulos:

0 \longrightarrow M_1 \overset{f}{\longrightarrow} M_2 \overset{g}{\longrightarrow} M_3

es exacta si y sólo si para todo A-módulo P la sucesión de \mathbb{Z}-módulos inducida:

0 \longrightarrow \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_1) \overset{f_*}{\longrightarrow} \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_2) \overset{g_*}{\longrightarrow} \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_3)

es exacta.

Recordar que todo morfismo f \in \mathop{\rm{Hom}}_A(M, N) induce un morfismo f_* : \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M) \to \mathop{\rm{Hom}}_A(P, N) que se define por f_*(\psi) = f \cdot \psi. La situación es la siguiente:

funtor-hom-covariante-exacto-a-izquierda_01.png?w=300

Demostración.

Se analizan por separado las condiciones:

  1. f monomorfismo \iff f_* monomorfismo.
  2. {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g) \iff {\mathop{\rm{im}}}(f_*) = \ker(g_*)

1. Monomorfismos

Se verá que f : M_1 \to M_2 es un monomorfismo si y sólo si para todo A-módulo P se tiene que f_* : {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_1) \to {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_2) es un monomorfismo.

(\Rightarrow) Sea f un monomorfismo y fijar un A-módulo P. Suponer que f_*(\psi) = 0 para algún \psi \in \mathop{\rm{Hom}}_A(P, M_1). Entonces f \cdot \psi \equiv 0. Sea x \in P. Entonces f(\psi(x)) = 0. Como f es un monomorfismo, \psi(x) = 0, y por lo tanto \psi \equiv 0.

(\Leftarrow) Suponer que f_* es un monomorfismo para cualquier elección de P. En particular, lo es para el anillo P = A mirado como A-módulo. Dado x \in M_1, considerar el morfismo \psi_x : A \to M_1 determinado por \alpha \mapsto \alpha\,x. La situación es la siguiente:

funtor-hom-covariante-exacto-a-izquierda_02.png?w=300

Si x \neq 0, entonces \psi_x no es el morfismo nulo (ya que justamente manda el 1 \in A a x \neq 0). Como f_* es un monomorfismo, f_*(\psi_x) \in {\mathop{\rm Hom}}_A(A, M_2) no es el morfismo nulo, es decir f_*(\psi_x) = f \cdot \psi_x \not\equiv 0, y por lo tanto existe un \alpha \in A tal que f(\psi_x(\alpha)) \neq 0. Notar que \alpha \neq 0. Evaluando \psi_x, lo que se tiene es que f(\alpha\,x) = \alpha\,f(x) \neq 0. Esto implica que f(x) \neq 0.

Resumiendo, para todo elemento x \in M_1 no nulo, se tiene que f(x) \neq 0, y por lo tanto f es un monomorfismo.

2. Coincidencia de imagen y núcleo

Se verá que la imagen de f : M_1 \to M_2 coincide con el núcleo de g : M_2 \to M_3 si y sólo si para todo A-módulo P se tiene que la imagen de f_* : {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_1) \to {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_2) coincide con el núcleo de g_* : {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_2) \to {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_3). La situación es la siguiente:

funtor-hom-covariante-exacto-a-izquierda_03.png?w=300

(\Rightarrow) Suponer que {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g) y fijar un A-módulo P. Para ver que se verifica {\mathop{\rm{im}}}(f_*) = \ker(g_*), se probará la doble inclusión:

  • {\mathop{\rm{im}}}(f_*) \subseteq \ker(g_*).

    Sea \varphi \in {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_2) en la imagen de f_*. Se tiene que \varphi = f_*(\psi) = f \cdot \psi, y entonces g_*(\varphi) = g \cdot f \cdot \psi \equiv 0 pues g \cdot f \equiv 0.

  • {\mathop{\rm{im}}}(f_*) \supseteq \ker(g_*).

    Sea \varphi \in {\mathop{\rm Hom}}_A(P, M_2) en el núcleo de g_*. Se tiene que g_*(\varphi) = g \cdot \varphi \equiv 0. Entonces {\mathop{\rm{im}}}(\varphi) \subseteq \ker(g) = {\mathop{\rm{im}}}(f). Como f : M_1 \to M_2 es un monomorfismo, se tiene un isomorfismo \tilde{f} : M_1 \overset{\simeq}{\to} {\mathop{\rm{im}}}(f). Más precisamente, \tilde{f} es el morfismo que asocia cada x \in {\mathop{\rm{im}}}(f) \subseteq M_2 al único y \in M_1 tal que x = f(y).

    Considerar entonces el morfismo \psi : P \to M_1 dado por \psi := \tilde{f}^{-1} \cdot \varphi. Notar que está bien definido precisamente porque {\mathop{\rm{im}}}(\varphi) \subseteq {\mathop{\rm{im}}}(f). Entonces \varphi = f \cdot \tilde{f}^{-1} \cdot \varphi = f \cdot \psi = f_*(\psi), con lo cual \varphi \in {\mathop{\rm{im}}}(f_*).

(\Leftarrow) Suponer que {\mathop{\rm{im}}}(f_*) = \ker(g_*) para todo A-módulo P. En particular, esto vale si P es el anillo A. La situación es la siguiente:

funtor-hom-covariante-exacto-a-izquierda_04.png?w=300

Se probará la doble inclusión de {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g).

  • {\mathop{\rm{im}}}(f) \subseteq \ker(g).

    Para cada x \in M_1, considerar el morfismo \psi_x : A \to M_1 determinado por \alpha \mapsto \alpha\,x.

    Observar que para todo x \in M_1, se tiene que f_*(\psi_x) = f \cdot \psi_x \in {\mathop{\rm{im}}}(f_*) = \ker(g_*). Es decir, g_*(f_*(\psi_x)) = g \cdot f \cdot \psi_x \equiv 0. Evaluando en 1 se concluye que g(f(x)) = 0 para todo x \in M_1, con lo cual {\mathop{\rm{im}}}(f) \subseteq \ker(g).

  • \ker(g) \subseteq {\mathop{\rm{im}}}(f).

    Sea x \in \ker(g). Entonces g(x) = 0. Considerar el morfismo \varphi_x : A \to M_2 determinado por \alpha \mapsto \alpha \cdot x. Observar que g_*(\varphi_x)(\alpha) = (g \cdot \varphi_x)(\alpha) = g(\varphi_x(\alpha)) = g(\alpha\,x) = \alpha\,g(x) = 0 para todo \alpha \in A.

    Por lo tanto, \varphi_x \in \ker(g_*) = {\mathop{\rm{im}}}(f_*), es decir, \varphi_x = f_*(\psi) para cierto \psi \in {\mathop{\rm Hom}}_A(A, M_1). Evaluando en 1 \in A, se concluye que \varphi_x(1) = f_*(\psi)(1) = (f \cdot \psi)(1), o sea, x = f(\psi(1)) \in {\mathop{\rm{im}}}(f).

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