Lema de los cinco

Sea

lema-de-los-cinco_01.png?w=500

un diagrama conmutativo de A-módulos donde las filas son sucesiones exactas. Entonces, si \alpha, \beta, \delta y \varepsilon son isomorfismos, \gamma es un isomorfismo.

Demostración.

Monomorfismo.

Sea x \in M_3 tal que \gamma(x) = 0. Se quiere ver que x = 0.

  • g_3 \gamma (x) = 0
  • \delta f_3 (x) = 0 pues g_3 \cdot \gamma = \delta \cdot f_3
  • f_3 (x) = 0 pues \delta es un monomorfismo
  • x \in \ker(f_3) = {\mathop{\rm{im}}}(f_2)
  • x = f_2(y) para algún y \in M_2
  • 0 = \gamma(x) = \gamma f_2(y) = g_2 \beta(y) pues \gamma \cdot f_2 = g_2 \cdot \beta
  • \beta(y) \in \ker(g_2) = {\mathop{\rm{im}}}(g_1)
  • \beta(y) = g_1 \alpha(z) para algún z \in M_1 pues \alpha es un epimorfismo
  • y = \beta^{-1} g_1 \alpha(z) = f_1 (z) porque \beta \cdot f_1 = g_1 \cdot \alpha
  • x = f_2(y) = f_2 f_1(z) = 0 pues f_2 \cdot f_1 \equiv 0

Epimorfismo.

Sea x \in N_3. Se quiere ver que x \in {\mathop{\rm{im}}}(\gamma).

  • g_4 g_3(x) = 0 pues g_4 \cdot g_3 \equiv 0
  • \varepsilon f_4 \delta^{-1} g_3(x) = 0 porque \varepsilon \cdot f_4 = g_4 \cdot \delta
  • f_4 \delta^{-1} g_3(x) = 0 porque \varepsilon es un monomorfismo
  • \delta^{-1} g_3(x) \in \ker{f_4} = {\mathop{\rm{im}}}(f_3)
  • \delta^{-1} g_3(x) = f_3(y) para algún y \in M_3
  • \delta^{-1} g_3(x) = \delta^{-1} g_3 \gamma(y) porque \delta \cdot f_3 = g_3 \cdot \gamma
  • g_3(x) = g_3 \gamma(y) aplicando \delta
  • g_3(x - \gamma(y)) = 0
  • x - \gamma(y) \in \ker(g_3) = {\mathop{\rm{im}}}(g_2)
  • x - \gamma(y) = g_2 \beta(z) para algún z \in M_2 pues \beta es un epimorfismo
  • x - \gamma(y) = \gamma f_2(z) pues g_2 \cdot \beta = \gamma \cdot f_2
  • x = \gamma(y + f_2(z))
  • x \in {\mathop{\rm{im}}}(\gamma)
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One Response to Lema de los cinco

  1. Siegfried Mezper says:

    De hecho sólo se necesita que \beta y \delta sean isomorfismos, \alpha se epimorfismo y \epsilon sea monomorfismo, por lo que el lema es más fuerte en realidad.

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