Módulos finitamente generados en sucesiones exactas cortas

Sea

0 \longrightarrow M \overset{f}{\longrightarrow} N \overset{g}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

una sucesión exacta corta de A-módulos. Entonces:

  1. Si N es finitamente generado, P es finitamente generado.
  2. Si M y P son finitamente generados, N es finitamente generado.

Demostración.

La demostración se puede reducir al hecho de que M es isomorfo a un submódulo K \subseteq N y P es isomorfo a un cociente N / K. Sigue una demostración “a mano”:

  1. Si N es finitamente generado, se tiene que N = \langle x_1, \hdots, x_n \rangle. Entonces {\mathop{\rm{im}}}(g) = \langle g(x_1), \hdots, g(x_n) \rangle es finitamente generado. Además {\mathop{\rm{im}}}(g) = P porque g es un epimorfismo.
  2. Sean M y P finitamente generados. Entonces {\mathop{\rm{im}}}(f) es finitamente generado. Más precisamente, dado \{x_1, \hdots, x_m\} un sistema de generadores de M, todo elemento y \in {\mathop{\rm{im}}}(f) se escribe como combinación lineal de los f(x_i).

    Por otro lado, sea \{z_1, \hdots, z_p\} un sistema de generadores de P. Como g es un epimorfismo, considerar un conjunto de preimágenes \{y_1, \hdots, y_p\} tales que y_i \in N con g(y_i) = z_i.

    Sea y \in N. Entonces g(y) \in P se escribe como:

    g(y) = \sum_{i = 1}^{p}{\alpha_i\,z_i} = \sum_{i = 1}^{p}{\alpha_i\,g(y_i)}

    para ciertos elementos \alpha_i en el anillo. Restando, se tiene entonces:

    g(y - \sum_{i = 1}^{p}{\alpha_i\,y_i}) = 0

    Entonces y - \sum_{i = 1}^{p}{\alpha_i\,y_i} \in \ker(g) = {\mathop{\rm{im}}}(f). Como ya se vio, los elementos de la imagen se escriben como combinación lineal de los f(x_i). Es decir:

    y - \sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\,y_i} = \sum_{i=1}^{m}{\beta_i\,f(x_i)}.

    Despejando se concluye:

    y = \sum_{i=1}^{p}{\alpha_i\,y_i} + \sum_{i=1}^{m}{\beta_i\,f(x_i)}

    con lo cual todo elemento y \in N está en el módulo generado por: \langle y_1, \hdots, y_p, f(x_1), \hdots, f(x_m) \rangle.

    Así, N resulta finitamente generado.

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