Escritura de una sucesión exacta corta como una inclusión seguida de una proyección

Sea

0 \longrightarrow M \overset{f}{\longrightarrow} N \overset{g}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

una sucesión exacta corta de A-módulos. Sea K = {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g) \subseteq N.

Entonces:

  1. M \simeq K.
  2. P \simeq N / K.
  3. La siguiente es una sucesión exacta corta:

    0 \longrightarrow K \overset{\iota_K}{\longrightarrow} N \overset{\pi_K}{\longrightarrow} N / K \longrightarrow 0

    donde \iota_K : K \to N es la inclusión y \pi_K : N \to N / K la proyección al cociente.

Demostración.

  1. Por teoremas de isomorfismo, se tiene que M / \ker(f) \simeq {\mathop{\rm{im}}}(f). Es decir, M \simeq K, pues f es un monomorfismo.
  2. Por teoremas de isomorfismo, se tiene que N / \ker(g) \simeq {\mathop{\rm{im}}}(g). Es decir N / K \simeq P, pues g es un epimorfismo.
  3. La inclusión \iota_K es un monomorfismo. La proyección al cociente \pi_K es un epimorfismo. La imagen de \iota_K es K, que es precisamente el núcleo de \pi_K.
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