Secciones/monomorfismos y retracciones/epimorfismos en módulos

Sean f : M \to N un morfismo de A-módulos. Entonces:

  1. f es sección sii f es monomorfismo e {\mathop{\rm{im}}}(f) es un sumando directo de N
  2. f es retracción sii f es epimorfismo y \ker(f) es un sumando directo de M

Demostración.

Las demostraciones de 1. y 2. son duales:

  1. (\Rightarrow) Sea s : M \to N una sección. Por empezar, toda sección es un monomorfismo: sea r : N \to M una inversa a izquierda, r \cdot s = id_M. Dado x \in M, si se tiene que s(x) = 0 entonces x = r(s(x)) = r(0) = 0.

    Además, en esta situación, N = \ker(r) \oplus {\mathop{\rm{im}}}(s).

    (\Leftarrow) Recíprocamente, sea s : M \to N un monomorfismo tal que N = {\mathop{\rm{im}}}(s) \oplus N'. Observar que restringiendo el codominio de la aplicación s se tiene una nueva aplicación \tilde{s} : M \to {\mathop{\rm{im}}}(s) que sigue siendo un monomorfismo y además es un epimorfismo. Como, entonces, es un isomorfismo, tiene una inversa \tilde{s}^{-1} : {\mathop{\rm{im}}}(s) \to M.

    Considerar la proyección \pi : N \to {\mathop{\rm{im}}}(s). Se afirma entonces que r := \tilde{s}^{-1} \cdot \pi es la inversa a izquierda buscada. Esto es porque s(x) = \tilde{s}(x) \in {\mathop{\rm{im}}}(s), con lo cual r(s(x)) = \tilde{s}^{-1}(\pi(s(x))) = \tilde{s}^{-1}(s(x)) = x.

  2. (\Rightarrow) Sea r : M \to N una retracción. Por empezar, toda retracción es un epimorfismo: sea s : N \to M una inversa a derecha, r \cdot s = id_N. Dado x \in N, se tiene que x = r(s(x)) y por lo tanto x \in {\mathop{\rm{im}}}(r).

    Además, como en el caso anterior, en esta situación, M = \ker(r) \oplus {\mathop{\rm{im}}}(s).

    (\Leftarrow) Sea ahora r : M \to N un epimorfismo y suponer que M = \ker(r) \oplus M'. Restringiendo el dominio de la aplicación r, se obtiene \tilde{r} : M' \to N, que sigue siendo un epimorfismo. Además, M' \cap \ker(r) = \{0\}, y por lo tanto se tiene también que \tilde{r} es un monomorfismo. Como es un isomorfismo, tiene una inversa \tilde{r}^{-1} : N \to M'.

    Considerar la inclusión \iota : M' \to M. Tomando s := \iota \cdot \tilde{r}^{-1}, se afirma que esta es la inversa a derecha buscada. Esto es porque dado x \in N, se tiene que r \cdot s(x) = r(\iota(\tilde{r}^{-1}(x))). Como \iota(\tilde{r}^{-1}(x)) está en M', r coincide con \tilde{r} en dicho punto, de modo que r(\iota(\tilde{r}^{-1}(x))) = \tilde{r}(\tilde{r}^{-1}(x)) = x, que es lo buscado.

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