Módulo se descompone como núcleo de una sección más imagen de una retracción

Sean M y N dos A-módulos y r : M \to N, s : N \to M tales que r\,s = id_N. Entonces M = \ker(r) \oplus {\mathop{\rm{im}}}(s).

Demostración.

  • Para ver que la suma es directa, sea x \in \ker(r) \cap {\mathop{\rm{im}}}(s). Entonces existe y \in N tal que x = s(y). Por lo tanto r(x) = r(s(y)) = 0. Pero r \cdot s = id_N, de modo que y = 0, y entonces x = s(0) = 0.
  • Para ver que la suma da todo M, considerar un elemento cualquiera x \in M. Observar que x - s(r(x)) \in \ker(r) pues, usando que r\cdot s = id_N, se tiene que: r(x - s(r(x))) = r(x) - r(s(r(x))) = r(x) - r(x) = 0. Entonces x se escribe como \underbrace{x - s(r(x))}_{\in \ker(r)} + \underbrace{s(r(x))}_{\in {\mathop{\rm{im}}}(s)}.
Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s