Completar el tercer morfismo entre un par de sucesiones exactas cortas de módulos

Sea

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un diagrama conmutativo de A-módulos, con filas exactas. Entonces existe un único morfismo f" : M" \to N" que completa el diagrama conmutativo. Además, si f y f' son isomorfismos, f" es un isomorfismo.

Demostración.

Sea x \in M". Como \nu es un epimorfismo, existe un y \in M tal que x = \nu(y). Se define entonces f"(x) = \delta(f(y)).

Suponiendo correcta la definición de f" : M" \to N" como morfismo de A-módulos, se ve que en efecto completa el diagrama conmutativo, pues f" \cdot \nu = \delta \cdot f.

  • Unicidad de la definición.

    Para ver que f" es función, se debe verificar todavía la unicidad de la definición. El único punto en el que esto podría fallar es en la elección del elemento y \in M. Suponer que x = \nu(y) = \nu(y'). Se verá que \delta(f(y)) = \delta(f(y')), lo cual hará que f"(x) quede unívocamente determinado. Restando se tiene \nu(y) - \nu(y') = \nu(y - y') = 0, con lo cual y - y' \in \ker(\nu). Como además \ker(\nu) = {\mathop{\rm{im}}}(\mu) (pues la sucesión es exacta), y - y' = \mu(z) para algún z \in M'.

    Aplicando \delta \cdot f se tiene \delta(f(y - y')) = \delta(f(\mu(z))). Por conmutatividad del diagrama, f \cdot \mu = \gamma \cdot f', de modo que \delta(f(y - y')) = \delta(\gamma(f'(z))). Finalmente \delta \cdot \gamma = 0 pues {\mathop{\rm{im}}}(\gamma) = \ker(\delta). Así, \delta(f(y - y')) = 0.

  • Buena definición de f" como morfismo.

    Para la aditividad de f", sean x_1, x_2 \in M. Se tiene que x_1 = \nu(y_1) y que x_2 = \nu(y_2), de modo que x_1 + x_2 = \nu(x_1) + \nu(x_2) = \nu(y_1 + y_2). Por lo tanto f"(x_1 + x_2) = \delta(f(y_1 + y_2)) = \delta(f(y_1)) + \delta(f(y_2)) = f"(x_1) + f"(x_2).

    Para la multiplicatividad, sean x \in M y \alpha un elemento del anillo. Se tiene que x = \nu(y). Además, \alpha\,x = \alpha\,\nu(y) = \nu(\alpha\,y) por lo que f"(\alpha\,x) = \delta(f(\alpha\,y)) = \alpha\,\delta(f(y)) = \alpha\,f"(x).

  • Unicidad del morfismo f".

    Para ver que f" es único, considerar otro morfismo \tilde{f} que completa el diagrama conmutativo. Entonces para todo y \in M, se tiene que f"(\nu(y)) = \delta(f(y)) = \tilde{f}(\nu(y)). Como además \nu es un epimorfismo, todo elemento x \in M" se escribe como \nu(y), de modo que f" y \tilde{f} coinciden.

Por último, suponiendo que f y f' son isomorfismos, se verá que f" debe ser un isomorfismo:

  • Monomorfismo.

    Sea x" = \nu(x) \in M" para algún x \in M, y tal que f"(x") = 0. Se quiere ver que x" = 0. Entonces:

    • f"(x") = f"(\nu(x)) = \delta(f(x)) = 0 por conmutatividad del diagrama
    • f(x) \in \ker(\delta)
    • f(x) = \gamma(y') para cierto y' \in N' pues {\mathop{\rm{im}}}(\gamma) = \ker(\delta) ya que la sucesión es exacta.
    • f(x) = \gamma(f'(x')) usando que y' = f'(x') para algún x' \in M' ya que f' es un isomorfismo.
    • f(x) = f(\mu(x')) por conmutatividad del diagrama.
    • x = \mu(x') aplicando f^{-1}.

    Por último, x" = \nu(x) = \nu(\mu(x')) = 0 pues \nu \cdot \mu = 0 ya que la sucesión es exacta.

  • Epimorfismo.

    Sea y" \in N". Se quiere ver que existe un x" \in M" tal que f"(x") = y". Por ser \delta un epimorfismo, existe y \in N tal que \delta(y) = y". Entonces:

    • y = f(x) para algún x \in M pues f es un isomorfismo.
    • \delta(f(x)) = \delta(y) = y"
    • \delta(f(x)) = f"(\nu(x)) = y" pues el diagrama conmuta.

    Entonces, tomando x" = \nu(x) efectivamente f"(x") = y".

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