Caracterización de las sucesiones exactas cortas escindidas

Sean M, N, P A-módulos, y sea la siguiente sucesión exacta corta:

0 \longrightarrow M \overset{f}{\longrightarrow} N \overset{g}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

Entonces son equivalentes:

  1. f es una sección.
  2. g es una retracción.
  3. La sucesión exacta corta dada es equivalente a esta otra:

    0 \longrightarrow M \overset{\iota_M}{\longrightarrow} M \oplus P \overset{\pi_P}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

Si se cumple alguna de (y por lo tanto todas) las condiciones anteriores, se dice que la sucesión exacta corta es escindida (o que “se parte”).

Demostración.

(1 \Rightarrow 3)

Suponer que existe una retracción r : N \to M tal que r \cdot f = id_M. Por la caracterización de lo que significa que dos sucesiones exactas cortas sean equivalentes, basta ver que existe un morfismo h : N \to M \oplus P que hace conmutar el siguiente diagrama:

caracterizacion-sucesiones-exactas-cortas-escindidas_01.png

Más concretamente, lo que se quiere ver es que hay un morfismo h tal que:

  • h \cdot f = \iota_M
  • \pi_P \cdot h = g

Se verá que tomando h := \iota_M \cdot r + \iota_P \cdot g se cumple lo requerido.

Por un lado, h\cdot f = \iota_M \cdot r \cdot f + \iota_P \cdot g \cdot f. Pero g \cdot f = 0 pues la sucesión es exacta y {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g). Además, r \cdot f es la identidad de M, de modo que h \cdot f = \iota_M.

Por otra parte, \pi_P \cdot h = \pi_P \cdot \iota_M \cdot r + \pi_P \cdot \iota_P \cdot g. Se tiene entonces que \pi_P \cdot \iota_M = 0 y además que \pi_P \cdot \iota_P es la identidad de P, por lo cual \pi_P \cdot h = g.

(3 \Rightarrow 1)

Suponiendo que existe un morfismo h : N \to M \oplus P que hace conmutar el diagrama, se define r := \pi_M \cdot h. Entonces r \cdot f = \pi_M \cdot h \cdot f. Como el diagrama conmuta, se tiene que h \cdot f = \iota_M y por lo tanto r \cdot f = \pi_M \cdot \iota_M = id_M.

(2 \Rightarrow 3)

Suponer que existe una sección s : P \to N tal que g \cdot s = id_P. Basta ver que existe un morfismo \tilde{h} que hace conmutar el siguiente diagrama:

caracterizacion-sucesiones-exactas-cortas-escindidas_02.png?w=500

De manera similar a la anterior, eligiendo \tilde{h} := f \cdot \pi_M + s \cdot \pi_P se tiene que:

  • g \cdot \tilde{h} = \pi_P
  • \tilde{h} \cdot \iota_M = f

(3 \Rightarrow 2)

Suponiendo que existe un morfismo h : N \to M \oplus P que hace conmutar el diagrama, se sabe que debe ser un isomorfismo. Tomando entonces s := h^{-1} \cdot \iota_P, se tiene que g \cdot s = g \cdot h^{-1} \cdot \iota_P. Como el diagrama conmuta, g \cdot h^{-1} = \pi_P y por lo tanto g \cdot s = \pi_P \cdot \iota_P = id_P.

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