Sean dos sucesiones exactas cortas de -módulos:
tales que existe un morfismo que cumple:
Entonces es un isomorfismo, i.e. .
Esta propiedad da lugar a una relación de equivalencia entre sucesiones exactas cortas.
Demostración. Por “diagram chasing“:
- Monomorfismo:
Sea un y suponer que . Se quiere ver que entonces . Se cumple la siguiente cadena de implicaciones:
- aplicando .
- pues .
- .
- pues la sucesión es exacta y .
- para cierto .
- aplicando .
- pues .
- pues la sucesion es exacta y es un monomorfismo.
- .
- Epimorfismo:
Sea un . Se quiere ver que entonces existe un tal que . Se cumple la siguiente cadena de implicaciones:
- aplicando
- para algún pues la sucesión es exacta y es un epimorfismo.
- pues .
- pues ambos son iguales a y por lo tanto .
- porque la sucesión es exacta e .
- pues .
- para cierto .
- despejando .