Equivalencia de sucesiones exactas cortas de módulos

Sean dos sucesiones exactas cortas de A-módulos:

0 \longrightarrow M \overset{f}{\longrightarrow} N \overset{g}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

0 \longrightarrow M \overset{f'}{\longrightarrow} N' \overset{g'}{\longrightarrow} P \longrightarrow 0

tales que existe un morfismo h : N \to N' que cumple:

  • g' \circ h = g
  • f' = h \circ f

Entonces h es un isomorfismo, i.e. N \simeq N'.

Esta propiedad da lugar a una relación de equivalencia entre sucesiones exactas cortas.

Demostración. Por “diagram chasing“:

  • Monomorfismo:

    Sea un x \in N y suponer que h(x) = 0 \in N'. Se quiere ver que entonces x = 0. Se cumple la siguiente cadena de implicaciones:

    • g'(h(x)) = 0 \in P aplicando g'.
    • g(x) = 0 \in P pues g' \circ h = g.
    • x \in \ker(g).
    • x \in {\mathop{\rm{im}}}(f) pues la sucesión es exacta y {\mathop{\rm{im}}}(f) = \ker(g).
    • x = f(z) \in N para cierto z \in M.
    • h(x) = h(f(z)) = 0 \in N' aplicando h.
    • f'(z) = 0 \in N' pues f' = h \circ f.
    • z = 0 pues la sucesion es exacta y f' es un monomorfismo.
    • x = f(z) = 0.
  • Epimorfismo:

    Sea un x \in N'. Se quiere ver que entonces existe un \tilde{x} \in N tal que h(\tilde{x}) = x. Se cumple la siguiente cadena de implicaciones:

    • g'(x) \in P aplicando g'
    • g'(x) = g(y) \in P para algún y \in N pues la sucesión es exacta y g es un epimorfismo.
    • g'(h(y)) = g(y) \in P pues g' \circ h = g.
    • g'(h(y)) = g'(x) \in P pues ambos son iguales a g(y) y por lo tanto g'(h(y) - x) = 0.
    • h(y) - x \in \ker(g')
    • h(y) - x \in {\mathop{\rm{im}}}(f') porque la sucesión es exacta e {\mathop{\rm{im}}}(f') = \ker(g').
    • h(y) - x \in {\mathop{\rm{im}}}(h \circ f) pues h \circ f = f'.
    • h(y) - x = h(f(z)) \in N' para cierto z \in N.
    • x = h(y) - h(f(z)) = h(y - f(z)) despejando x.
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