Caracterización de los módulos semisimples

Sea M un A-módulo. Entonces son equivalentes:

  1. M es una suma directa de la forma \bigoplus_{i \in I}{S_i}, donde los S_i \subseteq M son submódulos simples.
  2. M es una suma de la forma \sum_{j \in J}{S_j}, donde los S_j \subseteq M son submódulos simples.
  3. Todo submódulo N \subseteq M admite un complemento directo, es decir, existe T \subseteq M tal que N \oplus T = M.

Más aún, en los ítems 1 y 2, los conjuntos de submódulos simples \{S_i\ |\ i \in I\} y \{S_j\ |\ j \in J\} coinciden.

Esta equivalencia motiva la definición de semisimplicidad: dado M un A-módulo, se dice semisimple si cumple alguna (y por lo tanto todas) las condiciones anteriores.

Demostración.

(1 \Rightarrow 2)

Es trivial.

(2 \Rightarrow 3)

Suponer que M = \sum_{j \in J}{S_j}, y sea N \subseteq M. Se verá que N tiene un complemento directo.

Considerar aquellos conjuntos de índices H \subseteq J tales que N y los submódulos simples S_h con h \in H están en suma directa. Más precisamente, sea \Omega el conjunto \Omega := \{ H \ |\ H \subseteq J,\ N \oplus \bigoplus_{h\in H}{S_h}\} parcialmente ordenado por la inclusión. Dicho conjunto es no vacío, porque H = \emptyset cumple la propiedad. Además, toda cadena creciente de conjuntos de índices H_1 \subseteq H_2 \subseteq \hdots tiene una cota superior, dada por \tilde{H} = \bigcup_{i \in \mathbb{N}}{H_i} que además está en \Omega. Para ver que efectivamente \tilde{H} \in \Omega, se debe verificar que N y todos los conjuntos S_h con h \in \tilde{H} están en suma directa. Considerar para ello una escritura del 0 con elementos n + \sum_{h \in \tilde{H}}{s_h} = 0, para ciertos n \in N, s_h \in S_h sólo finitos no nulos. Por ser esta suma de dominio finito, existe algún i_0 \in \mathbb{N} tal que la suma anterior se puede reexpresar con índices h \in H_{i_0}, es decir, se tiene que n + \sum_{h \in H_{i_0}}{s_h} = 0. Como H_{i_0} \in \Omega, se tiene que N \oplus \bigoplus_{h \in H_{i_0}} es efectivamente una suma directa, de modo que sólo puede darse el caso n = 0 y s_h = 0 para todo h \in \tilde{H}.

Aplicando el Lema de Zorn sobre el conjunto \Omega se concluye que existe un conjunto de índices H maximal, tal que N \oplus \bigoplus_{h \in H}{S_h} es efectivamente una suma directa. Se verá que T := \bigoplus_{h \in H}{S_h} es el complemento directo buscado, es decir, que N \oplus T = M. Como ya se sabe que están en suma directa, sólo resta ver que N + T = M.

Suponer que N + T \neq M. Entonces existe algún j_0 \in J tal que el submódulo simple S_{j_0} no está contenido en N + T. Esto es porque si todos los S_j estuvieran contenidos en N + T, todo el módulo M estaría contenido también en N + T, ya que M se escribe como la suma de los S_j.

El elemento j_0 no está en H, pues de lo contrario S_{j_0} \subseteq T = \bigoplus_{h \in H}{S_h}. Por lo tanto H \subsetneq H \cup \{j_0\}. Se verá ahora que H' := H \cup \{j_0\} está en \Omega, contradiciendo el hecho de que H es maximal en \Omega. Para que H' esté en \Omega, debe ocurrir que N \oplus \left(\bigoplus_{h \in H}{S_h}\right) \oplus {S_{j_0}} sea efectivamente una suma directa. Entonces, basta ver que (N + T) \cap S_{j_0} = 0. Como S_{j_0} es simple, (N + T) \cap S_{j_0} sólo puede tomar los valores S_{j_0} o 0. Pero no puede ser que dicha intersección sea S_{j_0}, pues esto implicaría que S_{j_0} \subseteq N + T, lo cual es absurdo, porque ya se sabía que S_{j_0} no está contenido en N + T.

Observación. Notar que tomando el submódulo trivial N = 0, la misma construcción da lugar a un complemento directo T = \bigoplus_{h \in H}{S_h} tal que M = T. Esto quiere decir que si M se escribe como la suma de submódulos simples S_j, entonces se escribe también como la suma directa de submódulos simples S_h. En otras palabras, esto prueba que (2 \Rightarrow 1).

Notar además que el conjunto H coincide con el conjunto J, de tal forma que los submódulos simples involucrados en cada una de las sumas son los mismos. Dicho de otra manera: M = \sum_{j \in J}{S_j} \implies M = \bigoplus_{j \in J}{S_j}.

(3 \Rightarrow 2)

Sea S = \sum_{\{S_i \subseteq M \ |\ S_i\ \mathrm{simple}\}}{S_i}. Es decir, S es la suma de todos los submódulos simples de M. Se verá que S = M.

Suponer que no lo fuera. Entonces S tiene un complemento directo no vacío T \subseteq M, i.e. S \oplus T = M con T \neq \emptyset. Por lo tanto, existe un elemento x \in T tal que el submódulo generado \langle x \rangle no está contenido en S y no es simple.

Por el Lema de Zorn, \langle x \rangle tiene un submódulo propio maximal, N \subsetneq \langle x \rangle. Como N es maximal, \langle x \rangle / N es simple.

Usando nuevamente la hipótesis, N tiene un complemento N' tal que N \oplus N' = M. Por lo tanto (N \oplus N') \cap \langle x \rangle = N \oplus (N' \cap \langle x \rangle) = \langle x \rangle.

“Despejando” se tiene que N' \cap \langle x \rangle \simeq \langle x \rangle / N. Por lo tanto N' \cap \langle x \rangle es un submódulo simple de T \subseteq M. Esto es absurdo porque todos los submódulos simples de M están contenidos en S, y S \cap T = \emptyset porque están en suma directa.

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