Módulos sobre anillos de polinomios isomorfos sii transformaciones lineales semejantes

Sean K un cuerpo y S un conjunto. Entonces son equivalentes:

  1. M = (S, \cdot_M) es un K[X]-módulo
  2. V = (S, \cdot_V) es un K-espacio vectorial

Donde la acción \cdot_M y la acción \cdot_V se relacionan de tal modo que existe un endomorfismo \varphi \in {\mathop{\rm{End}}}(V) que cumple:

  • k\,X^0 \cdot_M v = k \cdot_V v
  • X \cdot_M v = \varphi(v)

Notación: dado un K-espacio vectorial y \varphi \in {\mathop{\rm{End}}}(V), notaremos V_{\varphi} al correspondiente K[X]-módulo.

Demostración. En ambos casos, el conjunto subyacente S es un grupo Abeliano. Resta verificar que se cumplan las propiedades sobre las acciones.

(\Rightarrow) Definiendo la acción \cdot_V mediante: k \cdot_V v := k\,X^0 \cdot_M v, se tiene que (S, \cdot_V) resulta un K-espacio vectorial. Además, \varphi(v) := X \cdot_M v define un morfismo \varphi : V \to V.

(\Leftarrow) De manera simétrica, si se tiene un endomorfismo \varphi \in {\mathop{\rm{End}}}(V), definiendo la acción \cdot_M como en las ecuaciones de arriba, se tiene que (S, \cdot_M) resulta un K[x]-módulo.

Corolario. Sean M = V_{\varphi} y M' = V_{\varphi'} dos K[X]-módulos. Entonces M \simeq M' si y sólo si \varphi \sim \varphi' (i.e. \varphi y \varphi' son transformaciones lineales semejantes).

Demostración.

(\Rightarrow) Sea \psi : M \to M' un isomorfismo de K[x]-módulos, y sea v \in M. Notar que \psi mirada como aplicación de V \to V también es un isomorfismo de K-espacios vectoriales.

Entonces \psi(v) \in M'. Como \psi es K[X]-lineal, se tiene que: X \cdot \psi(v) = \psi(X \cdot v). Por la definición de la acción en cada módulo, se tiene entonces que: \varphi(\psi(v)) = \psi(\varphi'(v)).

Aplicando \psi^{-1} a ambos lados de la igualdad se concluye: \psi^{-1}(\varphi(\psi(v))) = \varphi'(v) para todo v \in M. Entonces \psi^{-1}\,\varphi\,\psi = \varphi', es decir, \varphi y \varphi' son transformaciones lineales semejantes.

(\Leftarrow) Recíprocamente, sea \psi : V \to V un isomorfismo de K-espacios vectoriales tal que \varphi' = \psi^{-1}\,\varphi\,\psi. Basta ver que \psi mirada como aplicación de M \to M' es un morfismo de K[x]-módulos.

Para ello, igual que antes, observar que \varphi\,\psi = \psi\,\varphi' y por lo tanto X \, \psi(v) = \psi(X\,v) para todo v \in M.

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