Anillo conmutativo es semisimple sii es producto finito de cuerpos

Sea A un anillo conmutativo. Entonces A es semisimple si y sólo si A es isomorfo como anillo a un producto finito de cuerpos. Es decir, A \simeq k_1 \times k_2 \times \hdots \times k_n donde cada k_i es un cuerpo. La estructura de anillo del producto está dada por la suma y el producto coordenada a coordenada.

Demostración.

(\Leftarrow) Sea A isomorfo a un producto finito de cuerpos k_1 \times \hdots \times k_n. Cada cuerpo k_i se corresponde, vía isomorfismo, a un ideal de A. Además, dichos ideales son simples, pues los únicos ideales de un cuerpo son los triviales. Entonces A es suma de ideales simples, y por lo tanto semisimple.

(\Rightarrow) Por ser A semisimple y finitamente generado se tiene que A = \bigoplus_{i=1}^{n}{S_i}, donde cada S_i \subseteq A es un ideal simple. Además, cada ideal S_i está generado por un elemento e_i tal que se cumple:

  • 1 = e_1 + \hdots + e_n
  • e_i\,e_j = 0 si i \neq j
  • e_i^2 = e_i

Para cada i, considerar el morfismo de A-módulos: \varphi_i : A \to S_i determinado por 1 \mapsto e_i. Es un epimorfismo, pues la imagen incluye a e_i que genera a S_i. Pasando al cociente, se obtiene el isomorfismo: \bar{\varphi}_i : A / \ker{\varphi_i} \to S_i. Como \varphi es un morfismo de A en un A-módulo simple, se tiene que el núcleo \ker\varphi es un ideal maximal. De este modo, k_i := A / \ker{\varphi_i} es un cuerpo.

Resumiendo, se tiene entonces que A = \bigoplus_{i=1}^{n}{S_i} donde cada S_i es isomorfo a un cuerpo k_i. Se verá ahora que A \simeq k_1 \times \hdots k_n. Para ello, sea f_i := \bar{\varphi}^{-1} : S_i \to k_i y considerar la aplicación f : A \to \prod_{i=1}^{n}{k_i} determinada por e_i \mapsto (0, \hdots, f_i(e_i), \hdots, 0) donde f_i(e_i) figura en la posición i. Queda unívocamente determinada porque los e_i forman una base de A y porque cada f_i es un isomorfismo. Notar que dados s_i \in S_i, se tiene que f(s_1 + \hdots + s_n) = (f_1(s_1), \hdots, f_n(s_n)).

Sean x, y \in A elementos del anillo. Se escriben de la siguiente manera:

  • x = \sum_{i=1}^{n}{s_i}
  • y = \sum_{i=1}^{n}{t_i}

para ciertos s_i, t_i \in S_i. A continuación se verá que f es un isomorfismo de anillos.

  • Se verifica la aditividad de f por la siguiente cadena de igualdades:
    • f(x + y)
    • f(\sum_{i=1}^{n}{s_i} + \sum_{i=1}^{n}{t_i})
    • f(\sum_{i=1}^{n}{s_i + t_i})
    • (f_1(s_1 + t_1), \hdots, f_n(s_n + t_n))
    • (f_1(s_1) + f_1(t_1), \hdots, f_n(s_n) + f_n(t_n))
    • (f_1(s_1), \hdots, f_n(s_n)) + (f_1(t_1), \hdots, f_n(t_n))
    • f(\sum_{i=1}^{n}{s_i}) + f(\sum_{i=1}^{n}{t_i})
    • f(x) + f(y)
  • Como s_i, t_i \in S_i = \langle e_i \rangle, cada s_i se escribe como \alpha_i\,e_i y cada t_j se escribe como \beta_j\,e_j, para ciertos \alpha_i, \beta_j \in A. Se verifica entonces la multiplicatividad de f pues:
    • f(x\,y)
    • f((\sum_{i=1}^{n}{s_i})\,(\sum_{j=1}^{n}{t_j}))
    • f(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{s_i\,t_j})
    • f(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\alpha_i\,\beta_j\,e_i\,e_j}) usando que el anillo A es conmutativo
    • f(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i\,\beta_i\,e_i^2})
    • (f_1(\alpha_1\,\beta_1\,e_1^2), \hdots, f_n(\alpha_n\,\beta_n\,e_n^2))
    • (f_1(\alpha_1\,e_1), \hdots, f_n(\alpha_n\,e_n)) \cdot (f_1(\beta_1\,e_1), \hdots, f_n(\beta_n\,e_n))
    • f(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i\,e_i}) \cdot f(\sum_{i=1}^{n}{\beta_i\,e_i})
    • f(\sum_{i=1}^{n}{s_i}) \cdot f(\sum_{i=1}^{n}{t_i})
    • f(x) \cdot f(y)
  • Para ver que f(1) = 1, observar primero que \varphi_i(1) = e_i, por lo tanto \bar{\varphi_i}(\bar{1}) = e_i, y entonces f_i(e_i) = \bar{\varphi_i}^{-1}(e_i) = \bar{1} \in k_i. De este modo, se tiene que f(1) = f(e_1 + \hdots + e_n) = (f_1(e_1), \hdots, f_n(e_n)) = (\bar{1}, \hdots, \bar{1}) que es precisamente el 1 del anillo \prod_{i=1}^{n}{k_i}.
  • f es un epimorfismo. Dados y_i \in k_i arbitrarios, existen elementos x_i \in S_i tales que f_i(x_i) = y_i pues los f_i son epimorfismos. De este modo f(x_1 + \hdots + x_n) = (f_1(x_1), \hdots, f_n(x_n)) = (y_1, \hdots, y_n)
  • f es un monomorfismo, pues si f(x_1 + \hdots + x_n) = (0, \hdots, 0) entonces f_i(x_i) = 0 para cada i. Como los f_i son monomorfismos, se concluye entonces que todos los x_i son nulos y por lo tanto que x_1 + \hdots + x_n = 0.
Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s