Núcleo de morfismo sobre módulo simple es maximal

Sea M un A-módulo simple y \varphi : A \to M un morfismo de A-módulos. Entonces \mathfrak{m} = \ker\varphi es un ideal maximal de A.

En particular, si \varphi es un epimorfismo, M es isomorfo como A-módulo a un cuerpo A / \mathfrak{m}.

Demostración. Para ver que \mathfrak{m} es maximal, se verá que \mathfrak{m} + \langle x\rangle = A para todo elemento del anillo x \not\in \mathfrak{m}.

Sea entonces un elemento x \in A tal que x \not\in \mathfrak{m} = \ker\varphi. Entonces \varphi(x) \neq 0, por lo que \langle \varphi(x) \rangle \subseteq M es un submódulo no nulo. Como M es simple, \langle \varphi(x) \rangle = M.

En particular, \varphi(1) \in \langle \varphi(x) \rangle, con lo cual \varphi(1) = \lambda\,\varphi(x) para cierto \lambda \in A. Escribiendo entonces 1 = (1 - \lambda\,x) + \lambda\,x, se tiene que:

  • 1 - \lambda\,x \in \mathfrak{m}, ya que \varphi(1 - \lambda\,x) = \varphi(1) - \lambda\,\varphi(x) = 0
  • \lambda\,x \in \langle x \rangle

De este modo, 1 \in \mathfrak{m} + \langle x \rangle, y por lo tanto A = \mathfrak{m} + \langle x \rangle, con lo cual \mathfrak{m} es maximal.

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