Módulos semisimples finitamente generados

Sea M un A-módulo semisimple finitamente generado. Entonces M es una suma finita de A-módulos simples.

Demostración. Considerar un sistema de generadores de M finito \{x_1, \hdots, x_n\}. Como M es semisimple, es la suma directa de módulos simples, es decir, M = \bigoplus_{i \in I}{S_i}, donde I es un conjunto arbitrario y cada S_i es simple.

Por lo tanto, cada x_j se escribe de manera única como x_j = \sum_{i \in I}{s_{ij}} donde s_{ij} \in S_i y la suma es de dominio finito. Como las sumas son de dominio finito y hay un número finito de generadores x_j, el conjunto de los módulos S_i que se requieren para escribir a todos los x_j es también finito. Sea entonces \{S_1, \hdots, S_k\} dicho conjunto. Por un lado, \sum_{j=1}^{k}{S_i} incluye a un conjunto de generadores de M, y por lo tanto a M. Como además los S_j son submódulos de M, se tiene que M = \sum_{j=1}^{k}{S_j}. De este modo, M es una suma de finitos módulos simples.

Observar que por la definición de módulos semisimples, esto implica también que M es una suma directa de finitos módulos simples.

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s