Propiedades de anillos semisimples

Sea A un anillo semisimple.

Entonces A es de la forma \bigoplus_{i=1}^{n}{\langle s_i \rangle}, donde los ideales \langle s_i \rangle son simples y además:

  • 1 = s_1 + \hdots + s_n
  • s_i\,s_j = 0 si i \neq j
  • s_i^2 = s_i

Demostración. El anillo A es finitamente generado, pues A = \langle 1 \rangle. Como además es semisimple, es una suma directa finita de ideales simples, i.e. A = \bigoplus_{i = 1}^{n}{S_i} donde S_i \subseteq A son ideales simples.

En particular, el 1 se escribe de manera única como una suma 1 = s_1 + \hdots + s_n con cada s_i \in S_i. Notar que s_1 no puede ser nulo, porque de lo contrario 1 = s_2 + \hdots + s_n y entonces:

  • s_1 está en S_1 por un lado
  • s_1 = s_1\,s_2 + \hdots + s_1\,s_n está en S_2 + \hdots + S_n

Con lo cual S_1 y S_2 + \hdots S_n no están en suma directa, lo cual es absurdo. De igual manera, s_i \neq 0 para todo i \in \{1,\hdots,n\}.

Como los módulos simples están generados por cualquiera de sus elementos no nulos, se tiene entonces que \langle s_i \rangle = S_i. Por lo tanto: A = \bigoplus_{i = 1}^{n}{\langle s_i \rangle} con 1 = s_1 + \hdots + s_n.

Multiplicando ahora dicha igualdad por el elemento s_1, se tiene que s_i = s_i\,s_1 + \hdots + s_i\,s_n. Por unicidad de la escritura en una suma directa, se concluye que s_i^2 = s_i y que s_i\,s_j = 0 para todo j \neq i.

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