Anillo es semisimple sii ideales generados por elementos idempotentes

Sea A un anillo. Entonces A es semisimple si y sólo si todo ideal está generado por un elemento idempotente. (Un elemento x \in A es idempotente sii x^2 = x).

Demostración.

(\Rightarrow) Por propiedades de anillos semisimples se tiene que A = \bigoplus_{i = 1}^{n}{\langle s_i \rangle} donde los s_i son tales que:

  • \langle s_i \rangle es simple
  • 1 = s_1 + \hdots + s_n
  • s_i\,s_j = 0 si i \neq j
  • s_i^2 = s_i

Sea I \subseteq A un ideal. Sin pérdida de generalidad, reordenando convenientemente los elementos s_1, \hdots, s_n se tiene por la caracterización de módulos semisimples que I \simeq \bigoplus_{i=1}^{k}{\langle s_i \rangle}. Basta ver entonces que I' := \bigoplus_{i=1}^{k}{\langle s_i \rangle} está generado por un elemento idempotente.

Considerar el elemento e := s_1 + \hdots + s_k \in I'. Entonces, para todo j \in \{1, \hdots, k\} se tiene que s_j\,e = s_j\,(s_1 + \hdots + s_k) = s_j^2 = s_j. De este modo, los generadores de I' están incluidos en \langle e \rangle, con lo cual \langle e \rangle = I'.

Sólo resta ver que e es idempotente. Esto es cierto pues e^2 = (s_1 + \hdots + s_k)^2 = \sum_{i=1}^{k}{\sum_{j=1}^{k}{s_i\,s_j}} = s_1^2 + \hdots + s_k^2 = s_1 + \hdots + s_k = e.

(\Leftarrow) Sea S \subseteq A un ideal de A. Se verá que admite un complemento directo (i.e. un ideal T \subseteq A tal que S \oplus T = A), con lo cual se tendrá que A es semisimple.

Si S es el ideal nulo basta con tomar T = A y, recíprocamente, si S es todo A, basta con tomar T = 0. Suponer entonces que 0 \subsetneq S \subsetneq A. Por hipótesis, todo ideal está generado por un elemento idempotente, de modo que en particular S = \langle a \rangle, para algún a \in A no nulo tal que a^2 = a. Considerar el ideal T := \langle 1 - a \rangle. Se verá que T es un sumando directo de S.

Por un lado, 1 = a + (1 - a) \in S + T, de modo que, en efecto, S + T es todo el anillo. Por otro lado, suponer que s + t = 0 para ciertos s \in S, t \in T. Como S y T son ambos cíclicos, se tiene que s = x\,a y que t = y\,(1 - a) para ciertos x, y \in A. Es decir, x\,a + y - y\,a = 0. Multiplicando la igualdad a derecha por a, se tiene que: x\,a^2 + y\,a - y\,a^2 = 0. Como a es un elemento idempotente, se concluye: x\,a + y\,a - y\,a = 0, o sea que x\,a = 0. De este modo, s = x\,a = 0 y entonces t = 0, con lo cual la suma es directa.

Corolario. Si A es un anillo semisimple y a \in A, entonces existe x \in A tal que a\,x\,a = a.

Demostración. El ideal \langle a \rangle está generado por un elemento idempotente b \in A, es decir: \langle a \rangle = \langle b \rangle con b^2 = b. Como a \in \langle b \rangle, se tiene que a = \lambda\,b, y por lo tanto a\,b = \lambda\,b^2 = \lambda\,b = a. Como además b \in \langle a \rangle, se tiene que b = x\,a y por lo tanto a = a\,b = a\,x\,a.

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