Morfismos sobre módulos simples

Sea f : M \to N un morfismo de A-módulos. Entonces:

  1. Si M es simple, entonces f = 0 o f es un monomorfismo.
  2. Si N es simple, entonces f = 0 o f es un epimorfismo.
  3. Si M y N son simples entonces f = 0 es un isomorfismo.

Demostración.

  1. El núcleo \ker f es un submódulo de M, por lo tanto, como M es simple, o bien \ker f = M, en cuyo caso f = 0, o bien \ker f = \{0\}, en cuyo caso f es un monomorfismo.
  2. La imagen {\mathop{\rm Im}} f es un submódulo de N, por lo tanto, como N es simple, o bien {\mathop{\rm Im}} f = \{0\}, en cuyo caso f = 0, o bien {\mathop{\rm Im}} f = N, en cuyo caso f es un epimorfismo.
  3. Por los dos ítems anteriores, si f no es 0, entonces f debe ser simultáneamente un monomorfismo y un epimorfismo, de modo que debe ser un isomorfismo.

Corolario. Si M es un A-módulo simple, entonces el anillo {\mathop{\rm End}}_A(M) de endomorfismos de M es un anillo de división. (Esto es porque, al ser M simple, todos los morfismos f : M \to M son isomorfismos, y por lo tanto inversibles con respecto a la composición).

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s