Módulos simples son cíclicos

Sea M un A-módulo. Entonces M es simple si y sólo si M \neq 0 y para todo x \in M tal que x \neq 0 se tiene que \langle x \rangle = M.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea M simple. Por definición de simplicidad, M \neq 0. Sea entonces un elemento x \in M no nulo. El submódulo cíclico \langle x \rangle \subseteq M es no nulo. Como M es simple, se concluye \langle x \rangle = M.

(\Leftarrow) Sea S un submódulo no nulo de M. Entonces existe un elemento x \in S no nulo. Por lo tanto S \supseteq \langle x \rangle = M, con lo cual S = M.

Corolario. Todo A-módulo simple es cíclico. Esto es porque M no es nulo y está generado por cualquier elemento no nulo.

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