Monomorfismo sobre módulo Artiniano es isomorfismo

Sea M un A-módulo Artiniano y f \in {\rm{\mathop{End}}}_A(M) un endomorfismo. Si f es un monomorfismo, entonces es un isomorfismo.

Demostración. Basta ver que f es un epimorfismo. Suponer que no lo fuera. Se verá que para todo n \in \mathbb{N} existen elementos x_n \in M tales que x_n \in {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n-1})) pero x_n \not\in {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n}).

Por inducción en n. Si n = 1, como f no es un epimorfismo, existe un x_1 \not\in {\rm{\mathop{Im}}}(f).

Para el caso n + 1, considerar por hipótesis inductiva un elemento x_n que cumpla con las propiedades requeridas. Tomar x_{n+1} = f(x_n). Por hipótesis inductiva, x_n \in {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n-1}), es decir, existe un y \in M tal que x_n = f^{n-1}(y). Por lo tanto x_{n+1} = f(x_n) = f(f^{n-1}(y)) = f^n(y), de modo que x_{n+1} \in {\rm{\mathop{Im}}}(f^n).

Por otra parte, x_{n+1} no puede ser de la forma f^{n+1}(y), para ningún posible valor de y \in M, ya que en ese caso se tendría que f^{n+1}(y) = f(x) y, como f es un monomorfismo, se tendría que f^{n}(y) = x. Esto no puede ocurrir pues, por la segunda propiedad de la hipótesis inductiva, x_n \not\in {\rm{\mathop{Im}}}(f^n). Así, se concluye que x_{n+1} \not\in {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n+1}).

En general se verifica la inclusión {\rm{\mathop{Im}}}(f^n) \supseteq {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n+1}). Además, por lo ya probado, se tienen elementos x_n con n \in \mathbb{N} tales que x_n \in {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n-1}) pero x_n \not\in {\rm{\mathop{Im}}}(f^n). Es decir, para todo n \in \mathbb{N} se tiene que {\rm{\mathop{Im}}}(f^n) \supsetneq {\rm{\mathop{Im}}}(f^{n + 1}). Entonces, la siguiente: {\rm{\mathop{Im}}}(f) \supsetneq {\rm{\mathop{Im}}}(f^2) \supsetneq {\rm{\mathop{Im}}}(f^3) \supsetneq \hdots es una cadena decreciente de submódulos de M que no se estaciona. Esto es absurdo, pues contradice el hecho de que M es Artiniano, de modo que f es un epimorfismo.

De manera dual, si M es un A-módulo Noetheriano y f un epimorfismo, entonces es un isomorfismo.

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