Dominio íntegro Artiniano sii cuerpo

Sea A un anillo conmutativo. Entonces A es un dominio íntegro Artiniano si y sólo si es un cuerpo.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea A un dominio íntegro Artiniano y suponer que A no es un cuerpo. Entonces existe un elemento a_1 \in A no nulo que no es una unidad. Por el Lema 1, que se demuestra a continuación, esto implica que existe otro elemento a_2 \in A no nulo que no es una unidad, y tal que \langle a_1 \rangle \supsetneq \langle a_2 \rangle. Repitiendo el argumento se construye una cadena decreciente infinita de ideales \langle a_1 \rangle \supsetneq \langle a_2 \rangle \supsetneq \hdots que no se estaciona, lo que contradice la hipótesis de que A es Artiniano.

(\Leftarrow) Sea A un cuerpo. Entonces A es un dominio íntegro, ya que las unidades no son divisores de cero. Además, los ideales de A son sólo los triviales, de modo que toda cadena decreciente de ideales se estaciona.

Lema 1. Sea A un dominio íntegro Artiniano. Dado un elemento no nulo y no inversible a \not\in \mathcal{U}(A), existe otro elemento no nulo y no inversible b \not\in \mathcal{U}(A) tal que \langle a \rangle \supsetneq \langle b \rangle.

Demostración. Tomar b = a^2. Se tiene que b es no nulo porque A es un dominio íntegro. Además, a^2 no puede ser una unidad, porque de lo contrario existe un c tal que c\,a^2 = 1, concluyendo que c\,a es el inverso de a, y que a es una unidad, lo cual es absurdo.

Por otro lado, \langle a \rangle \supseteq \langle a^2 \rangle pues a^2 \in \langle a \rangle. Además, la inclusión es estricta. Si no fuera estricta, se tendría en particular que a \in \langle a^2 \rangle, es decir, que existe un x \in A tal que a = x\,a^2. Despejando, se tiene x\,a^2 - a = a\,(x\,a - 1)= 0. Como A es un dominio íntegro, esto implica que x\,a = 1, y entonces a es una unidad, lo cual contradice la hipótesis de que a \not\in \mathcal{U}(A).

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