Todo DIP es un DFU

Sea A un dominio de ideales principales. Entonces es un dominio de factorización única.

Demostración. Todos los ideales de A son principales, es decir, están generados por un elemento del anillo. En particular, todos los ideales son finitamente generados. Mirado como A-módulo, todos los submódulos de A son finitamente generados, y por lo tanto A es un anillo Noetheriano. Además, todo anillo Noetheriano es un dominio de factorización, de modo que A es un dominio de factorización. Para ver que A es un dominio de factorización única, sólo falta ver entonces que los elementos irreducibles son primos.

Sea a \in A un elemento irreducible. Se verá que es primo. Considerar para ello el ideal generado por dicho elemento, y suponer que está incluido en otro ideal \langle a \rangle \subseteq \mathcal{I} \subseteq A. Por ser A un DIP, el ideal \mathcal{I} debe ser de la forma \langle b \rangle. La inclusión de los ideales implica, en particular, que a \in \langle b \rangle, es decir, a = x\,b para algún x \in A. Como a es irreducible, pueden darse dos casos:

  • o bien b \in \mathcal{U}(A) es una unidad del anillo, en cuyo caso \langle b \rangle = A;
  • o bien b \sim a es un asociado, en cuyo caso \langle b \rangle = \langle a \rangle.

Entonces no puede haber un ideal \mathcal{I} situado estrictamente entre el ideal generado \langle a \rangle y todo el anillo A, de modo que \langle a \rangle es un ideal maximal.

Finalmente, como todo ideal maximal es primo se tiene que \langle a \rangle es un ideal primo, o, equivalentemente, que a es un elemento primo.

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