Módulo es Artiniano sii núcleo e imagen son Artinianos

Sea A un anillo, M un A-módulo y f : M \to M' un morfismo de A-módulos. Entonces M es Artiniano si y sólo si {\mathop{\rm Im}}(f) y \ker(f) lo son.

Equivalentemente, dado N \subseteq M un submódulo, M es Artiniano si y sólo si N y M / N lo son.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea M Artiniano. Se verifica trivialmente que todo submódulo N es Artiniano, ya que toda cadena descendente M_1 \supseteq M_2 \supseteq \hdots de submódulos de N también es una cadena descendente de submódulos de M, y por lo tanto se estaciona.

Para ver que M / N es Artiniano, sea \pi : M \to M / N la proyección al cociente, y considerar una cadena descendente S_1 \supseteq S_2 \hdots de submódulos de M / N. Tomando la proyección inversa de cada uno, se obtiene una cadena descendente \pi^{-1}(S_1) \supseteq \pi^{-1}(S_2) \supseteq \hdots de submódulos de M, ya que la proyección inversa preserva las inclusiones. Dicha cadena se estaciona porque M es Artiniano, y por lo tanto también se estaciona la cadena de los S_i.

(\Leftarrow) Suponer que un submódulo N y el cociente M / N son Artinianos, y considerar una cadena decreciente de submódulos M_1 \supseteq M_2 \supseteq \hdots. La proyección al cociente preserva las inclusiones, de modo que M_1 / N \supseteq M_2 / N \supseteq \hdots es una cadena decreciente de submódulos de M / N. Como el cociente es Artiniano, dicha cadena se estaciona, es decir, existe un k_0 \in \mathbb{N} a partir del cual M_k / N = M_{k_0} / N para todo k \geq k_0.

Como se cumple que M_k / N = M_{k_0} / N, se puede aplicar el lema que sigue. De este modo la cadena decreciente M_{k_0} \supseteq M_{k_0 + 1} \supseteq \hdots de submódulos de M se traslada a otra cadena decreciente M_{k_0} \cap N \supseteq M_{k_0 + 1} \cap N \supseteq \hdots conformada por submódulos de N. Además, el lema siguiente asegura que si M_i \supsetneq M_{i + 1} entonces M_i \cap N \supsetneq M_{i + 1} \cap N. Por lo tanto, la cadena de submódulos de M debe estacionarse, porque de lo contrario se obtendría una cadena de submódulos de N que no se estaciona, contradiciendo el hecho de que N es Artiniano.

Lema. Sean A, B \subseteq M submódulos tales que A / N = B / N. Se tiene entonces:

  • Si A \supseteq B entonces A \cap N \supseteq B \cap N.
  • Si A \supsetneq B entonces A \cap N \supsetneq B \cap N.

Demostración. La inclusión A \cap N \supseteq B \cap N es trivialmente verdadera asumiendo que A \supseteq B.

Para la desigualdad, considerar un elemento a \in A tal que a \not\in B. Pasando al cociente, se tiene que \bar{a} \in A / N = B / N. Como \bar{a} \in B / N, se tiene que a = b + n para ciertos b \in B, n \in N.

Por un lado se tiene que b \in A, pues B está contenido en A, de modo que n \in A. Por otro lado, se tiene que n \not\in B, pues de lo contrario b + n \in B, contradiciendo el hecho de que a \not\in B. Así, se tiene un elemento n \in N tal que n \in A pero n \not\in B. Dicho de otro modo, n \in A \cap N pero n \not\in B \cap N, probando que la inclusión A \cap N \supsetneq B \cap N es estricta.

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