Módulos Noetherianos sii suma directa Noetheriano

Sean M_1, \hdots, M_n módulos sobre un anillo A. Entonces M_1, \hdots, M_n son Noetherianos si y sólo si la suma directa \bigoplus_{i=1}^{n}{M_i} es un módulo Noetheriano.

Demostración. Basta ver el caso n = 2. El caso general se sigue por inducción en n.

Considerar el morfismo \pi_1 : M_1 \oplus M_2 \to M_1 determinado por (x, y) \mapsto x. Es sobreyectivo, de modo que \mathop{\rm{im}}(\pi_1) = M_1. Además, \ker(\pi_1) = \{(0, y)\ |\ y \in M_2\} \simeq M_2. Usando que M_1 \oplus M_2 es Noetheriano si y sólo si \mathop{\rm{im}}(\pi_1) y \ker(\pi_1) son Noetherianos, se concluye lo afirmado.

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