Anillo Noetheriano sii módulos finitamente generados Noetherianos

Sea A un anillo. Entonces A es Noetheriano si y sólo si todo A-módulo finitamente generado es Noetheriano.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea M un módulo finitamente generado. Sea \{x_1, \hdots, x_n\} un sistema de generadores de M, y sea \{e_1, \hdots, e_n\} la base canónica de A^n. Considerar el morfismo \varphi : A^n \to M determinado unívocamente por las imágenes de cada elemento de la base: e_i \mapsto x_i. Es un epimorfismo, porque \mathop{\rm{im}}(\varphi) incluye un sistema de generadores de M.

El anillo A es Noetheriano por hipótesis. Entonces A^n = \bigoplus_{i=1}^{n}{A} también es Noetheriano. Además, \varphi es un morfismo de A^n cuya imagen es M. Por lo tanto, M es Noetheriano.

(\Leftarrow) El anillo A es en particular un A-módulo. Además, A es finitamente generado, pues \langle 1 \rangle es un sistema de generadores. Entonces A es Noetheriano.

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