Anillo sobre anulador Noetheriano si módulo Noetheriano

Sea A un anillo conmutativo y M un A-módulo. Si M es Noetheriano, entonces A / \mathop{\rm{Ann}}(M) es Noetheriano.

Demostración. Sea \{x_1, \hdots, x_n\} un sistema de generadores de M. Es posible tomar un sistema de generadores finito porque M es Noetheriano, con lo cual es también finitamente generado. Considerar la aplicación \varphi : A \to M^n determinada por: a \mapsto a\,(x_1, \hdots, x_n) = (a\,x_1, \hdots, a\,x_n). Es un morfismo porque son iguales:

  • \varphi(\sum_{i=1}^{m}{\lambda_i\,a_i})
  • ((\sum_{i=1}^{m}{\lambda_i\,a_i})\,x_1, \hdots, (\sum_{i=1}^{m}{\lambda_i\,a_i})\,x_n)
  • \sum_{i=1}^{m}{\lambda_i\,(\,a_i\,x_1, \hdots, a_i\,x_n)}
  • \sum_{i=1}^{m}{\lambda_i\,\varphi(a_i)}

Por el primer teorema de isomorfismo, se tiene que A / \ker(\varphi) \simeq \mathop{\rm{Im}}(\varphi).

Observar que \ker(\varphi) = \mathop{\rm{Ann}}(M):

  • (\subseteq) Sea a \in \ker(\varphi). Entonces \varphi(a) = 0, es decir a\,x_i = 0 para todos los generadores x_i. Entonces a\,m = 0 para todo m \in M, pues m se escribe como combinación lineal de los x_i, de modo que a \in \mathop{\rm{Ann}}(M).
  • (\supseteq) Sea a \in \mathop{\rm{Ann}}(M). Entonces \varphi(a) = (a\,x_1, \hdots, a\,x_n) = 0, con lo cual a \in \ker(\varphi).

Se tiene entonces que A / \mathop{\rm{Ann}}(M) \simeq \mathop{\rm{Im}}(\varphi). Para probar que A / \mathop{\rm{Ann}}(M) es Noetheriano, basta ver que \mathop{\rm{Im}}(\varphi) es Noetheriano, pues dicha propiedad se preserva por isomorfismos.

Observar que \mathop{\rm{Im}}(\varphi) es un submódulo de M^n, y por lo tanto basta ver que M^n es Noetheriano. Finalmente, M^n = \bigoplus_{i=0}^{n}{M} es Noetheriano porque M es Noetheriano y sus sumas directas lo son.

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s