Bases del anillo de endomorfismos entre sucesiones de enteros con dominio finito

Parte 1

Sea M un A-módulo libre que tiene una base de cardinal n y otra de cardinal n + 1. Entonces, M tiene una base de cardinal m para todo m \geq n.

Demostración. Se sabe que M tiene una base de cardinal n si y sólo si M \simeq A^n.

Se verá que A \simeq A^m para todo m \geq n por inducción en m. Si m = n, se tiene M \simeq A^{n} por hipótesis. Si m = n + k + 1 para algún k \in \mathbb{N}_0, se tiene que M \simeq A^{m-1} = A^{n+k} por hipótesis inductiva. Entonces M \simeq A^{n+k} \simeq A^n \oplus A^k \simeq A^{n+1} \oplus A^k \simeq A^{n+k+1} = A^m.

Parte 2

Sea A = \mathop{\rm{End}}(\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})},\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}) con la estructura de anillo dada por la composición. Entonces A tiene bases finitas de cualquier cardinal.

Demostración. Considerar las sucesiones e_{i} \in \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})} para i \in \mathbb{N} tales que (e_i)_j = \delta_{ij}. El conjunto \{e_i\ | \ i \in \mathbb{N}\} es la base canónica de \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}.

Por la Parte 1, basta ver que A tiene una base de cardinal 1 y otra de cardinal 2. Como base de cardinal 1, basta tomar el conjunto \{id\}. Como base de cardinal 2, considerar el conjunto formado por los siguientes morfismos f_0, f_1 \in A:

  • f_0(a_0, a_1, \hdots, a_{2k}, a_{2k+1}, \hdots) = (a_0, a_2, \hdots, a_{2k}, \hdots)
  • f_1(a_0, a_1, \hdots, a_{2k}, a_{2k+1}, \hdots) = (a_1, a_3, \hdots, a_{2k+1}, \hdots)

Más precisamente:

  • f_0(e_i) = \begin{cases}e_k&i = 2k\\ 0&i = 2k + 1\end{cases}
  • f_1(e_i) = \begin{cases}e_k&i = 2k+1\\ 0&i = 2k\end{cases}

El conjunto \{f_0, f_1\} genera todo el anillo A pues id = f_0 + f_1 \in \langle f_0, f_1 \rangle. Para ver que es linealmente independiente, considerar una combinación lineal que se anula: \alpha\,f_0 + \beta\,f_1 = 0. Se verá que \alpha = \beta = 0 \in A.

Dado i \in \mathbb{N} arbitrario, se tiene que (\alpha\,f_0 + \beta\,f_1)(e_{2i}) = \alpha\,f_0(e_{2i}) + \beta\,f_1(e_{2i}) = \alpha(e_i). Como \alpha\,f_0 + \beta\,f_1 es el morfismo nulo, se concluye que \alpha(e_i) = 0 para todo i \in \mathbb{N}. Así, como \alpha es un morfismo de anillos y se anula en una base de \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}, se tiene que \alpha debe ser el morfismo nulo. Análogamente, evaluando el morfismo \alpha\,f_0 + \beta\,f_1 en la sucesión e_{2i+1} se obtiene que \beta = 0.

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