Anillo es de división sii todo módulo es libre

Sea A un anillo. Entonces A es de división si y sólo si todo A-módulo es libre.

Demostración.

(\Rightarrow) Todo módulo sobre un anillo de división es libre.

(\Leftarrow) Suponer que todo A-módulo es libre. Considerar \mathfrak{m} un ideal maximal de A, el cual siempre existe por el Lema de Zorn. Entonces los ideales de A / \mathfrak{m} son sólo los triviales. Mirado como A-módulo, esto es decir que A / \mathfrak{m} es simple.

Por hipótesis, A / \mathfrak{m} es libre. Considerar entonces una base \mathcal{B} de A / \mathfrak{m}. Dicha base debe estar formada por un único elemento, porque dado un elemento b \in \mathcal{B} se tiene que \langle b \rangle no es el ideal nulo. Además A / \mathfrak{m} es simple, de modo que dicho ideal \langle b \rangle debe ser entonces todo el anillo A / \mathfrak{m}.

Como A / \mathfrak{m} tiene una base formada por un único elemento, se tiene entonces que A / \mathfrak{m} \simeq A son isomorfos como A-módulos. Entonces A es simple, pues A / \mathfrak{m} también lo es. El anillo A es simple, o sea, sus ideales son sólo los triviales, de modo que A es un anillo de división.

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s