Anillo conmutativo tiene noción de rango

Sean A, B dos anillos, tales que B tiene noción de rango. Si existe un morfismo de anillos f : A \to B, entonces A tiene noción de rango.

Demostración. Se usará el hecho de que un anillo A tiene noción de rango si y sólo si cada vez que se tienen matrices M_1 \in A^{n \times m} y M_2 \in A^{m \times n} tales que M_1\,M_2 = Id_n y M_2\,M_1 = Id_m, se tiene también que n = m. (Demostración en la Parte 3).

Se quiere ver que A tiene noción de rango. Sean entonces M_1 \in A^{n \times m} y M_2 \in A^{m \times n} tales que M_1\,M_2 = Id_n \in M_n(A) y M_2\,M_1 = Id_m \in M_m(A).

Aplicando f a cada entrada de las matrices, se tiene que: f(M_1\,M_2) = f(M_1)\,f(M_2) = f(Id_n) = Id_n \in M_n(B). De modo similar, f(M_2\,M_1) = f(M_2)\,f(M_1) = f(Id_m) = Id_m \in M_m(B). Por lo tanto f(M_1) \in B^{n\times m} y f(M_2) \in B^{m \times n} son matrices que cumplen con lo enunciado. Como B tiene noción de rango, resulta n = m. Con esto se concluye que A también tiene noción de rango.

Corolario. Si un anillo A tiene un morfismo en un anillo de división, entonces A tiene noción de rango.

Corolario. En particular, todo anillo conmutativo A tiene noción de rango. Para ello, considerar \mathfrak{m} un ideal maximal de A. Así, la proyección al cociente \pi : A \to A / \mathfrak{m} es un morfismo de A en un cuerpo.

Corolario. Si \mathbb{Z}^n = \mathbb{Z}^m, entonces n = m.

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