Determinante en un dominio íntegro

Sea A un dominio íntegro y sea a \in M_n(A). Sea v_j \in A^n la j-ésima columna de a. Entonces:

  1. \{v_1, \hdots, v_n\} es linealmente independiente si y sólo si \det(A) \neq 0.
  2. \{v_1, \hdots, v_n\} es un sistema de generadores si y sólo si \det(A) \in A^{\times}.

Demostración.

  1. Usando notación de producto de matrices, decir que las columnas de una matriz a son linealmente independientes es equivalente a decir que para todo x \neq 0 \in A^n, se tiene a\,x \neq 0. (Para esto, interpretar a x como una tira de coeficientes, y a a\,x como la combinación lineal de las columnas de a con dichos coeficientes).

    Considerar la matriz adjunta, b := \mathop{\rm{adj}}(a). Se tiene que a\,b = b\,a = \det(a)\,Id. Entonces, dado x \neq 0 \in A^n, son equivalentes:

    • \det(a) \neq 0
    • \det(a)\,x \neq 0 usando que A es un dominio íntegro
    • b\,a\,x \neq 0 usando que b\,a = \det(a)\,Id
    • a\,x \neq 0
  2. Nuevamente, usando notación de producto de matrices, decir que las columnas de una matriz a son un sistema de generadores para A^n es decir que para todo y \in A^n existe un x \in A^n tal que a\,x = y.

    Considerando la matriz adjunta b := \mathop{\rm{adj}}(a), y dado y \in A^n, se tiene la siguiente cadena de implicaciones:

    • \det(a) \in A^{\times}
    • \det(a)^{-1} \cdot a\,b = Id
    • \det(a)^{-1} \cdot a\,b\,y = y
    • a\,x = y para x := \det(a)^{-1} \cdot \,b\,y

    Y en el sentido opuesto:

    • para todo y \in A^n existe x \in A^n tal que a\,x = y
    • a\,c = Id, tomando c \in M_n(A) de tal modo que su i-ésima columna sea x_i, una solución de a\,x_i = e_i
    • \det(a)\,\det(c) = \det(a\,c) = \det(Id) = 1
    • \det(a) \in A^{\times}
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