Módulo es Noetheriano sii todo submódulo es finitamente generado

Sea M un A-módulo. Entonces M es Noetheriano si y sólo si todo submódulo de M es finitamente generado. (Notar que todos los submódulos de M incluyen a M mismo).

Demostración.

(\Rightarrow) Sea N \subseteq M un submódulo de M. Se verá que es finitamente generado. Considerar el siguiente algoritmo:

  • \mathcal{S}_1 \gets \{x_1\} para algún x_1 \in N
  • para cada i \in \mathbb{N} mientras \langle \mathcal{S}_i \rangle \neq N
    • \mathcal{S}_i \gets \mathcal{S}_{i-1} \cup \{x_i\} para algún x_i \in N \setminus \langle \mathcal{S}_i \rangle.

Si el algoritmo termina, es porque \langle \mathcal{S}_i \rangle = N, con lo cual N es finitamente generado. El algoritmo debe terminar, porque de lo contrario \langle \mathcal{S}_1 \rangle \subsetneq \langle \mathcal{S}_2 \rangle \subsetneq \hdots es una cadena creciente de submódulos de M que no se estaciona, contradiciendo el hecho de que M es Noetheriano.

(\Leftarrow) Sea N_1 \subseteq N_2 \subseteq \hdots una cadena creciente de submódulos de M. Se verá que se estaciona. Considerar la unión S := \bigcup_{i \in \mathbb{N}}N_i de dichos submódulos; entonces S \subseteq M también es un submódulo y, por hipótesis, finitamente generado. Considerar entonces un sistema de generadores \{s_1, \hdots, s_n\} finito del submódulo S. Cada uno de los elementos s_k \in S está en algún submódulo N_{r_k}. Pero como forman una cadena creciente, todos los elementos s_k están también en N_{\max\{r_1,\hdots,r_n\}}.

Tomando n_0 = \max\{r_1,\hdots,r_n\}, se tiene entonces que N_{n_0} = S, pues N_{n_0} contiene a todos los generadores de S y a su vez está contenido en S, que es la unión de todos los N_i.

Además, para todo n \geq n_0 se tiene que N_{n_0} \subseteq N_n, ya que forman una cadena creciente, y además que N_n \subseteq N_{n_0}, pues N_{n_0} = S es la unión de todos los N_i. De este modo, la cadena se estaciona a partir de n_0.

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