Módulo es Noetheriano sii núcleo e imagen son Noetherianos

Sean M, N A-módulos y sea f : M \to N un morfismo. Entonces son equivalentes:

  1. M es Noetheriano.
  2. \ker f y {\mathop{\rm im}} f son Noetherianos.

Demostración.

(\Rightarrow) Un módulo es Noetheriano sii todos sus submódulos son finitamente generados. En particular, si M es Noetheriano, y N \subseteq M es un submódulo, N es Noetheriano. Usando este hecho, se concluye que el núcleo debe ser Noetheriano, ya que \ker f es un submódulo de M.

Por otra parte, sea un submódulo S \subseteq {\mathop{\rm im}} f, y considerar su preimagen T := f^{-1}(S). Dicho T es un submódulo de M y por lo tanto finitamente generado. Aplicando f se tiene que f(T) = f(f^{-1}(S)). En general vale la inclusión f(f^{-1}(S)) \subseteq S. En este caso además se cumple que S \subseteq f(f^{-1}(S)) porque S \subseteq {\mathop{\rm im}} f. De este modo, f(T) = f(f^{-1}(S)) = S. Además, como T es finitamente generado, tiene algún sistema de generadores \mathcal{G} finito. Entonces f(\mathcal{G}) es finito y es un sistema de generadores de S. Así, se concluye que todo submódulo S de {\mathop{\rm im}} f es finitamente generado, y que {\mathop{\rm im}} f es Noetheriano.

(\Leftarrow) Sea un submódulo S \subseteq M. Se tiene que f(S) es finitamente generado, ya que f(S) es un submódulo de {\mathop{\rm im}} f, que es Noetheriano por hipótesis. Considerar entonces un sistema de generadores finito para f(S), de tal modo que f(S) = \langle f(s_1), \hdots, f(s_n) \rangle con s_i \in S para todo i \in \{1, \hdots, n\}.

Sea ahora x \in S. Por lo anterior, se sabe que f(x) se escribe como combinación lineal de los f(s_i), o sea que es de la forma: f(x) = \sum_{i=0}^n{a_i\,f(s_i)} para ciertos a_i \in A. Usando que f es un morfismo de módulos, se reagrupa: f(x - \sum_{i=0}^n{a_i\,s_i}) = 0, concluyendo que el argumento está en el núcleo de f, es decir: x - \sum_{i=0}^n{a_i\,s_i} \in \ker{f}.

A su vez, el núcleo es finitamente generado, \ker{f} = \langle t_1, \hdots, t_m \rangle, y por lo tanto x - \sum_{i=0}^n{a_i\,s_i} = \sum_{j=0}^m{b_j\,t_j}, para ciertos b_j \in A. Despejando, se concluye que todo x \in S se escribe como x = \sum_{i=0}^n{a_i\,s_i} + \sum_{j=0}^m{b_j\,t_j}, con lo cual x \in \langle s_1, \hdots, s_n, t_1, \hdots, t_m \rangle. De este modo, \langle s_1, \hdots, s_n, t_1, \hdots, t_m \rangle es un sistema de generadores finito para S, y entonces S es finitamente generado. Se tiene así que M es Noetheriano.

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s