Módulo sobre anillo de división es libre

Sea M un A-módulo. Si A es un anillo de división, entonces M es libre.

Demostración. Considerar la familia de todos los subconjuntos de M que sean linealmente independientes: \Omega := \{B \subseteq M\ |\ B es l.i.\}. Así, (\Omega, \subseteq) es un conjunto parcialmente ordenado. En primer lugar, se verá que tiene un elemento maximal usando el Lema de Zorn.

Dada una cadena creciente B_1 \subseteq B_2 \subseteq ... de elementos de \Omega, la unión B := \cup_{i \in \mathbb{N}}{B_i} es una cota superior de todos los B_i. Además, B \in \Omega, es decir, B es linealmente independiente: considerar una combinación lineal con dominio finito que se anula; es de la forma \sum_{j \in J}{\alpha_j\,b_j} = 0 donde J es un conjunto finito, los \alpha_j son elementos del anillo A, y los b_j son elementos de B. Cada uno de los b_j está en algún conjunto de la cadena, B_{r_j}. Pero como la cadena de los B_i es creciente, se tiene que b_j \in B_{\max_{k \in J}{r_k}} para todo j \in J. Por lo tanto, la combinación lineal que se anula se puede pensar en dicho conjunto B_{\max_{k \in J}{r_k}} \in \Omega, que es linealmente independiente. De este modo, todos los \alpha_j deben ser nulos, de lo que se deduce que B es linealmente independiente.

Entonces, por el Lema de Zorn, \Omega tiene un elemento maximal \mathcal{B}. Para ver que es una base, sólo resta ver que \langle \mathcal{B} \rangle = M. Suponer que existiera x \in M tal que x \not\in \langle \mathcal{B} \rangle. Entonces \mathcal{B} \cup \{x\} debe ser un conjunto linealmente dependiente, ya que contiene a \mathcal{B}, que es maximal. Considerar una combinación lineal que se anule con coeficientes no todos nulos; es de la forma \alpha\,x + \sum_{y \in \mathcal{B}}{\beta_y\,y} = 0. Observar que \alpha no puede ser 0, pues de lo contrario se tiene una combinación lineal de elementos no todos nulos de \mathcal{B} y que se anula, lo cual no puede ser porque \mathcal{B} es linealmente independiente. Como \alpha \neq 0 y A es un anillo de división, esto permite despejar x, de la siguiente manera: x = \sum_{y \in \mathcal{B}}{-\beta_  y/\alpha\,y}, obteniendo que x se escribe como combinación lineal de los elementos de \mathcal{B}. Esto es absurdo porque se suponía x \not\in \langle B \rangle.

Consecuencia

Esta proposición implica que todo espacio vectorial tiene una base, ya que un espacio vectorial es un K-módulo, donde K es un cuerpo (y en particular un anillo de división).

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