Cadenas se estacionan sii elemento maximal

Sea (A, <) un conjunto parcialmente ordenado. Entonces son equivalentes:

  1. Toda cadena creciente a_1 \leq a_2 \leq \hdots se estaciona. Es decir, existe n_0 \in \mathbb{N} tal que a_n = a_{n_0} para todo n \geq n_0.
  2. Todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento maximal. Es decir, para todo \emptyset \neq A' \subseteq A existe a \in A' tal que para todo b \in A' tal que a \leq b se tiene a = b.

Demostración.

(1) \Rightarrow (2). Sea A' un subconjunto no vacío de A y suponer que no tuviera elemento maximal. Sea a_1 \in A'. Como a_1 no es maximal, existe a_2 \in A' tal que a_1<a_2. Inductivamente, suponer armada una cadena a_1<a_2<\hdots<a_i de elementos de A'. Como a_i no es maximal se puede tomar a_{i+1} \in A' tal que a_i<a_{i+1}. De este modo se construye una cadena creciente que no se estaciona, contradiciendo (1).

(2) \Rightarrow (1). Sea a_1 \leq a_2 \leq \hdots una cadena creciente. Considerar A' = \{a_i\ |\ i \in \mathbb{N}\} el conjunto de elementos de la cadena. Por (2), debe tener un elemento maximal a_{n_0}. Por ser todos los a_i elementos de la cadena, se tiene que a_{n_0} \leq a_{n} para todo n \geq n_0. Pero a_{n_0} es maximal, y por lo tanto a_{n_0} = a_n para todo n \geq n_0. Es decir, la cadena se estabiliza.

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