Módulo libre sii isomorfo a potencia del anillo

Sean M un A-módulo libre, y \mathcal{B} = \{x_i\ |\ i \in I\} \subseteq M una base de M. Sean N otro A-módulo y \{y_i\ |\ i \in I\} \subseteq N elementos cualesquiera de N. Entonces existe un único morfismo f : M \to N tal que f(x_i) = y_i para todo i \in I.

Demostración. Cada elemento x \in M se escribe de manera única como x = \sum_{i \in I}{\alpha_i\,x_i} para ciertos \alpha_i \in A, donde sólo finitos son no nulos. Se define entonces:

f(x) = f(\sum_{i \in I}{\alpha_i\,x_i}) := \sum_{i\in I}{\alpha_i\,y_i}

Esto define un morfismo de módulos. Además, es la única manera de definirlo, porque para que sea un morfismo debe distribuir sobre la suma y “sacar” escalares para afuera.

Corolario

M es un A-módulo libre si y sólo si M \simeq A^{(I)} para algún conjunto I.

Demostración.

(\Rightarrow) Sea \mathcal{B} = \{x_i\ |\ i \in I\} una base de M, y sea E = \{e_i\ |\ i \in I\} la base canónica de A^(I). Usando el resultado ya demostrado, considerar el único morfismo f : M \to A^{(I)} determinado por f(x_i) = e_i.

Es un epimorfismo, porque \mathrm{im}(f) contiene a todos los e_i \in E, que forman un sistema de generadores de A^{(I)}. Es un monomorfismo, porque si f(x)(i) = 0 para todo i \in I, entonces los coeficientes de x en la base \mathcal{B} son todos nulos, y entonces x = 0. Por lo tanto M \simeq A^{(I)}.

(\Leftarrow) Suponer que M \simeq A^{(I)}, y sea E = {e_i\ |\ i \in I} la base canónica de A^(I). Como son isomorfos, existe un isomorfismo de A-módulos \varphi : A^{(I) \to M}. Sean x_i \in M las imágenes de los e_i \in E, es decir, x_i = \varphi(e_i). Se verá que \mathcal{B} = \{x_i\ |\ i \in I\} es una base de M.

Sea un elemento m \in M cualquiera. Se escribe como m = \varphi(a) para algún a \in A^(I), pues \varphi es un epimorfismo. Además, a se escribe como combinación lineal de los elementos de la base: a = \sum_{i \in I}{\alpha_i\,e_i}. Aplicando \varphi y usando que es un morfismo, se tiene: m = \varphi(a) = \varphi(\sum_{i \in I}{\alpha_i\,e_i}) = \sum_{i \in I}{\alpha_i\,\varphi(e_i)} = \sum_{i \in I}{\alpha_i\,x_i}. Con lo cual \mathcal{B} es un sistema de generadores de M.

Para ver que \mathcal{B} es linealmente independiente, considerar una combinación lineal que se anule: \sum_{i\in I}{\alpha_i\,x_i} = 0. Aplicando \varphi^{-1} y usando que es un morfismo, se tiene: \sum_{i\in I}{\alpha_i\,e_i} = 0, con lo cual \alpha_i = 0 para todo i \in I, porque los elementos e_i de la base canónica son linealmente independientes.

Advertisements
This entry was posted in Álgebra 2 and tagged , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s